نظرية التعقيد الحسابي مسائل , مُدخل وطول المُدخل
مسائل , مُدخل وطول المُدخل
تعريف المُدخل
بشكل عام مُدخل(instance) لمسألة حاسوبية هو مجموعة معطيات x_1,cdots,x_d والمسألة الحاسوبية هي حساب دالة متعلقة بهذه المعطيات . مثال حساب المُحدد لمصفوفة المُدخلات لهذه المسألة هي القيم في المصفوفة والمُخرج هو المُحدد . وقد يُنظر إلى المسألة على انها مجموعة كل المدخلات والمُخرج الملائم للمُدخل . أما انه يمكن ان تكون المدخلات بأطوال مختلفة وطول المُدخل هو كمية البتات اللازمة لترميز المُدخل بشكل ملائم اي أن المُدخل يكون سلسلة (string) تابعة ل- 0,1 ^* مثال يمكن ترميز العدد (مثال 15 ) بواسطة تمثيله بنظام العد الثنائي ( الترميز الملائم ل-15 هو 1111),مثال اخر هو ترميز مخطط والذي يمكن ترميزه بواسطة القيم في المصفوفة الملائمة له .
لغات او مسائل التقرير
مسألة التقرير هي نوع خاص من المسائل الحاسوبية التي جوابها يكون إما
نعم او
لا او 0 و- 1 وهذا النوع من المسائل يُعرف أيضا باللغات في حين أن الأعضاء التابعة لهذه اللغة هي المُدخلات التي جوابها
نعم . والهدف يكون باعطائنا مُدخل يجب التقرير اذا ما المُدخل عضو في هذه اللغة او لا وذلك بواسطة خوارزمية , مثال فلتكن مسألة تقرير اذا ما عدد معطى هو أولي اللغة هي كل الاعداد الاولية ولتقرير اذا ما مُدخل معين هو أولي نشغل الخوارزمية التالية فحص كل الاعداد من 2 حتى هذا العدد وفحص اذا ما هذا العدد يمكن يقبل القسمة على اي عدد غير نفسه اذا نعم فالعدد ليس اوليا وخلاف ذلك العدد اولي .
مسائل دالة
مسائل دالة(function probl ) هي مسائل التي لكل مُدخل يكون هنالك مُخرج وحيد وتختلف هذه المسائل عن مسائل التقرير في انها قد يكون مُخرجها غير الاجابة بنعم ولا . مثال تحليل لعوامل اولية ,المُدخل هو عدد المخرج هو التحليل لعوامل لهذا العدد . وقد يُعتقد أن مسائل الدالة اغنى من مسائل التقرير ولكن هذا غير صحيح بالضرورة إذ انه يمكن تحويل كل مسألة دالة لمسألة تقرير مثال تحليل لعوامل اولية , المدخل عدد , x, وقائمة اعداد, x1,x2,...,xd والمخرج هو نعم فقط اذا حاصل ضرب الاعداد هو ,x, وبالاضافة كل عدد بالقائمة هو اولي .
قياس تعقيد الخوارزمية
لقياس صعوبة مسألة حاسوبية , وَجَب على المرئ ان يقيس الوقت اللازم لافضل خوارزمية تحل المسألة . وبشكل عام الوقت قد يرتبط بطول المُدخل وبالتحديد مُدخلات طويلة حتما ستحتاج اكثر وقت للوصول للحل ,لذا فان قياس الوقت اللازم لحل مسألة هو دالة بطول المُدخل , وبشكل عام طول المُدخل يكون بالبتات . لذا فان علم التعقيد بالاساس يبحث مدى قابلية توسع الخوارزمية .
فلنفرض أنَّ n هو طول المُدخل حينها الوقت اللازم للخوارزمية يمكن التعبير عنه بواسطة n , وبما أنَّ لكل مُدخل قد يكون الوقت اللازم لحل المسألة مختلف لذا فانه يُأخذ بالاعتبار تعقيد وقت الحالة الأسوأ , (T(n , والذي هو الوقت الاطول الذي ستحتاجه الخوارزمية بالنسبة لكل المُدخلات . اذا كان (T(n متعدد الحدود اي يوجد ثابت c>0 بحيث أنَّ (T(n) O(nc حينها نقول أنَّ الخوارزمية وقتها متعددة الحدود (polynomial time algorithm) . اطروحة كوبهام تقترح أن مسألة يمكن حلها مع كمية معقولة من الموارد اذا يوجد خوارزمية تحلها بوقت متعدد الحدود .
نماذج حاسوبية ومقاييس التعقيد
نماذج حاسوبية
وهي محاكاة نظرية لفكرة حاسوب الحاسوب اي أنَّ النموذج الحاسوبي هو آلة وهي التي تقوم بعمليات أساسية (قد تختلف من نموذج لآخر) ونظرية التعقيد تسأل عن مجموعة العمليات الأصغر التي يمكنها حل المسألة، وأكثر النماذج شيوعا في نظرية التعقيد هي آلة تيورنج وهي آلة حاسوبية تعالج رموز مكتوبة على شريط العمليات وهذا النموذج قد لا يكون عملي ولكن هناك ايمان إذا ما مسألة يمكن حلها بواسطة خوارزمية ما فحينها يمكن حل هذه المسألة بواسطة آلة تيورنج، وهذه الفرضية كانت المقال الأساسي في اطروحة تشيرش-تيورنج، وحسب ما هو معلوم كل ما يمكن حسابهُ بواسطة نماذج أخرى يمكن حسابه كذلك بواسطة آلة تيورنج. ولهذا السبب فان هذه الآلة هي الأكثر شيوعا في نظرية التعقيد. وأكثر النماذج الحاسوبية المستخدمة هي
file Turingmaschine.svg آلة تورنج
file Registermaschine.svg الة سجل
file Kellerautomat.svg الأوتومات غير المنتهي ذو المكدس
file Nea02.svg آلة الحالات المحدودة
قياس التعقيد
ولكي يكون قياس التعقيد , والذي هو استخدام كمية مُعينة من الموارد مثل الوقت او المكان , دقيقا ومُعرفا بشكل رياضياتي سليم كانت الحاجة للنماذج الحاسوبية مثال الة تيورنج , وقد نعرف الوقت اللازم لحل مسألة بواسطة الة تيورنج ,M , مع المدخل للالة ,x, هو عدد الخطوات او التحول من وضعية لوضعية اللازمة للالة حتى التوقف والاتيان بالنتيجة ( مثل نعم او لا ) . ونقول أنَّ الة تيورنج , M , وقت عملها هو (f(n اذا كان الوقت اللازم للالة M على كل مُدخل طولة n هو (f(n . ونقول أنَّ مسألة يمكن حلها بوقت (f(n اذا يوجد الة تيورنج M الوقت الذي تحتاجه لحل مُدخل طوله n هو (f(n . وبما أنَّ نظرية التعقيد اهتمامها بتصنيف المسائل حسب صعوبتها لذا فالمرئ يمكنه تعريف مجموعة مسائل تحقق معيار مُعين مثال ذلك المجموعة ((DTIME(f(n وهي مجموعة المسائل التي يوجد الة تيورنج قطعية التي تحلها بوقت (f(n .
هنالك عدة مقاييس للتعقيد ولعل اهمها هو الوقت والمكان , ولعل بديهيات بلم (Blum axioms) في نظرية التعقيد تُعرف هذه المقاييس . مقاييس اخرى مُستخدمة في نظرية التعقيد هي تعقيد الاتصال وتعقيد الدارات المنطقية وتعقيد شجرة التقرير . وبشكل عام في قياس تعقيد الخوارزميات شاع استخدام رمز O الكبير .
تعقيد الحالة الأفضل والحالة الأسوأ وتعقيد الحالة المتوسطة
تعقيد الحالة الأفضل والحالة الأسوأ والمتوسطة هي ثلاث طرق مختلفة لقياس تعقيد الوقت (او اي مقياس اخر) لمُدخلات مُختلفة من نفس الطول , وبما أنه باختلاف المُدخلات قد تكون بعض المُدخلات حلها اسرع من الاخريات لذا نعرف التالي
- تعقيد الحالة الأفضل وهو الوقت اللازم لحل مُدخل مسألة حيث أن هذا المُدخل يستلزم اقل وقت من بين كل المُدخلات المحتملة التي لها نفس الطول .
- تعقيد الحالة الأسوأ وهو الوقت اللازم لحل مُدخل مسألة حيث أن هذا المُدخل يستلزم اكثر وقت من بين كل المدخلات المحتملة التي لها نفس الطول .
- تعقيد الحالة المتوسطة وهو متوسط الوقت اللازم لحل كل المدخلات التي لها نفس الطول , وهذا التعقيد يمكن حسابه فقط بعد ان نفرض توزيع الاحتمال على المُدخلات .
حدود عليا وحدود دنيا على تعقيد المسائل
لكي نصنف الوقت الحسابي للمسائل (اي الوقت اللازم لحل مسألة بواسطة نموذج حاسوبي مُعين) المرئ وجب عليه ان يبرهن الحدود الدنيا والعليا لكمية الوقت الاقل التي تستلزمها أفضل خوارزمية لحل المسألة , وبشكل عام تعقيد الخوارزمية هو تعقيد الحالة الأسوأ الا اذا حُدد غير ذلك , ولكي نبرهن أن لمسألة حد أعلى (T(n وجب تبيين خوارزمية التي تستلزم وقت (T(n . ولكن لكي نبرهن حد ادنى المهمة أصعب بكثير إذ على المرئ أن يبين ان كل خوارزمية ممكنة لحل المسألة لا يوجد أي منها وقتها اقل من (T(n . وللتوضيح عندما نقول كل خوارزمية نعني أنه لا يمكن أن يكون هناك خوارزمية التي تستلزم وقتا اقل من (T(n حتى في المستقبل . والحدود الدنيا والعليا لمسألة يُعبر عنها بواسطة رمز O كبير .
اقسام تعقيد
تعريف
قسم تعقيد هو مجموعة مسائل التي لها نفس التعقيد , وقد تعرف اقسام التعقيد حسب العوامل التالية
- نوع المسألة الحاسوبية وفي هذا الباب نوع المسألة الاكثر شيوعا هي مسألة التقرير ولكن هنالك أيضا انواع اخرى مثل مسائل دالة , مسائل عد , مسائل استمثال او مسائل وعد ...
- نموذج الحاسوبية ولعل الاكثر شيوعا هي الة تيورنج القطعية ولكن هنالك استخدام لالة تيورنج غير القطعية , دارات منطقية , الة تيورنج كمومية,...
- الموارد التي يتم حصرها والحدود مثل وقت متعدد الحدود , مكان لوغارثمي , عمق ثابت , ...
هنالك تصنيفات اكثر تعقيدا من هذه المذكورة هنا مثل الة تيورنج احتمالية , الالات تيورنج تفاعلية , مسائل اتصال , ...
اقسام تعقيد مهمة
كثير من اقسام التعقيد يمكن تعريفها بواسطة تحديد الوقت او المكان التي تستخدمها الخوارزمية وفي هذا السياق يمكن تعريف بعض الاقسام كالتالي
-
! اقسام تعقيد
! النموذج الحاسوبي
! قيود الموارد
-
(( DTIME (f(n
الة تيورنج قطعية
وقت (f(n
-
P (تعقيد حسابي) P
الة تيورنج قطعية
وقت (poly(n
-
EXPTIME
الة تيورنج قطعية
وقت(2poly(n
-
(( NTIME (f(n
الة تيورنج غير قطعية
وقت (f(n
-
ان بي NP
الة تيورنج غير قطعية
وقت (poly(n
-
NEXPTIME
الة تيورنج غير قطعية
وقت (2poly(n
-
(( DSPACE (f(n
الة تيورنج قطعية
مكان (f(n
-
L
الة تيورنج قطعية
مكان (O(log n
-
PSPACE
الة تيورنج قطعية
مكان (poly(n
-
EXPSPACE
الة تيورنج قطعية
مكان (2poly(n
-
(( NSPACE (f(n
الة تيورنج غير قطعية
مكان (f(n
-
NL (complexity) NL
الة تيورنج غير قطعية
مكان (O(log n
-
NPSPACE
الة تيورنج غير قطعية
مكان (poly(n
-
NEXPSPACE
الة تيورنج غير قطعية
مكان (2poly(< >n
لقد تبين أنَّ NSPACE(f(n))subseteq DSPACE(f^2(n)) وكذلك PSPACE NPSPACE و EXPSPACE NEXPSPACE وهذا كله بواسطة مبرهنة سافيتش (Savitch theor ) .
اقسام مهمة اخرى من ضمنها ZPP , BPP ,Co-RP,RP وهي تستخدم الة تيورنج احتمالية في تعريفها , اما BQP و- QMA ففيهما استخدم الة تيورنج كمومية اما NC و- AC وكذلك P/Poly تعرف بواسطة الدارات المنطقية اما بالنسبة ل-P فهو قسم مسائل عد واحد اهمها على الإطلاق , اقسام مثل IP و-AM تستخدم نظام براهين تفاعلي . ALL هو قسم كل المسائل .
مسائل كاملة
مقال تفصيلي NP-Complete
فلتكن L in mbox NP نقول أنَّ L مسألة mbox NP كاملة اذا تحقق
لكل L' in mbox NP يتحقق L' le _p L
نسمي mbox NP-complete قسم اللغات التي هي NP كاملة. بشكل مشابه يمكن تعريف مسائل كاملة في كل قسم لغات مثل mbox P,PSPACE ,... .
إنَّ المسائل الكاملة تُعتبر مسائل صعبة بمفهوم انه لو وُجد حل بوقت حدودي لاحداها هذا يعني أنَّ كل المسائل في mbox NP يمكن حلها بوقت حدودي . النظرية التالية تشرح هذا الامر
mbox NP-complete cap mbox P
e ptyset اذا وفقط اذا mbox NP mbox P .
مبرهنة كوك وليفين
مقال تفصيلي مبرهنة كوك وليفين
الاكتفاء (مسماة بالإنجليزية SAT) مسألة NP كاملة. وقد كانت هذه اول لغة يُبرهن انها NP كاملة . واهميتها كانت بانها الشرارة التي اوقدت نظرية التعقيد الحسابي والسعي وراء النماذج الحسابية المختلفة , بعد أن تم برهنة أنَّ مسألة الاكتفاء هي NP كاملة تبين أنَّ الالاف المسائل هي أيضا كذلك .
ولعل أهم المسائل كاملة هي
- مسألة الاكتفاء (SAT)
- مشكلة تلوين المخطط .
- مشكلة المخطط الكامل ضمن مخطط .
- مشكلة الرحالة التاجر .
- مسار هاملتونياني
مبرهنات الهرمية
هذه المبرهنات تعتبر نتائج اساسية التي بواسطتها يمكن فصل اقسام التعقيد , والحدس خلف هذه المبرهنات هو أنك اذا كان عندك موارد اكثر باستطاعتك ان تفعل اكثر , ولهذه المبرهنات عدة نصوص إذ أنَّه لكل مورد ومقياس تعقيد يوجد نص خاص به ونُدرج بعض هذه
- اذا كانت (f(n يمكن حسابها بوقت ((O(f(n حيث أنَّ (log(n)0 بحيث أَنَّ f(x) le x ^c . ونقول أَنَّ f يمكن حسابها بسعة موارد لوجارثمية اذا يمكن حساب اللغتين L_f langle x,i
angle f(x)_i 1 وكذلك L'_f langle x,i
angle i le f(x) يمكن حسابها بسعة موارد لوجارثمية.
والان نعرف اختصارات سعة مواردها لوجارثمية بالشكل التالي نقول أَنَّ لغة A subseteq 0,1 ^* يمكن اختصارها بسعة موارد حدودية للغة Bsubseteq 0,1 ^* ويُرمز اليه ب- A le _l B اذا اذا يوجد يوجد دالة يمكن حسابها بسعة موارد لوجارثمية f 0,1 ^* o 0,1 ^* بحيث انه لكل xin 0,1 ^* , xin A اذا وفقط اذا f(x)in B
مسائل غير محلولة
ظهرت مسائل في نظرية التعقيد ولعلها من أهم المسائل في الالفية , حيث ان تطور العلوم بشكل عام سيكون اسرع لو كان لها حل . أهم هذه المسائل هي
مسألة NP-P
من السهل ملاحظة أن المسائل الحتمية الحدودية (P) هي ضمن المسائل غير حتمية حدودية (NP), لكن المسألة المقابلة والتي تسأل هل مجموعة المسائل غير حتمية مجموعة جزئية لمجموعة المسائل الحتمية ؟ ولم يتمكن من الجواب عنها علماء المعلوميات منذ سنة 1971 إلى الآن هو هل هناك تساو أو اختلاف بين المجموعتين ؟ وقد عُرض عام 2000 مكافئة قدرها مليون دولار لمن يحل المسألة وذلك بواسطة معهد كلاي .
تلقي هذه المسألة بظلها على كل مجالات العلوم الحديثة ولحل هذه المسألة اهمية بالغة على تطور مجال علم التشفير او انتكاسه حيث انه لو NP P حينها علم التشفير الحديث لن يكون له اي اهمية من الناحية النظرية ! ولكن لو تحقق هذا فان مجال تصميم الشرائح الالكترونية , تحليل الصور الرقمية , الذكاء الصناعي ... وغيرها من المجالات ستتطور لتكون في أقصى تطورها .
مسائل التي لا تتبع P ولا تتبع NP كاملة
لقد بيَّن لاندر انه في حال انه mbox P
e mbox NP حينها يوجد مسائل التي لا تتبع P ولا تتبع NP كاملة , للان لم يبرهن أحد على وجود مثل هذه المسائل ولكن هنالك حدسيات عن بعض المسائل التي محتمل جدا ان تكون كذلك منها تحليل لعوامل , تطابق المخططات (graph isomorphism) , ...
أنظر أيضا
- مسألة NP كاملة
- مسألة P-NP
نظرية التعقيد هي فرع من فروع نظرية علم الحاسوب نظرية الحوسبة في علم الحاسوب النظري و الرياضيات ، وهذه النظرية تتركز في تصنيف المسائل الحاسوبية حسب صعوبتها وكذلك تُعنى في ربط أقسام التعقيد (complexity es) ببعضها، والمسألة الحاسوبية هي مسألة يستطيع الحاسوب حلها.
ويمكن اعتبار مسألة صعبة اذا استخدمت كمية مُعينة من الموارد أيا كانت ومهما كانت الخوارزمية. ولعل النماذج الحسابية هي الطريقة الأمثل في هذه النظرية لدراسة هذه المسائل وتحديد كمية الموارد اللازمة مثل الوقت أو حجم المكان الاضافي اللازم. ويوجد كذلك معايير تعقيد أخرى مثل الاتصال (مستخدم في نظرية تعقيد الاتصال) وعدد البوابات في الدارات المنطقية ( مُستخدم في نظرية تعقيد الدارات المنطقية) وكذلك عدد المعالجات (مستخدم في الحساب المتوازي). وأحد أهم اساسات نظرية التعقيد الحسابي هي تبيين الحدود العملية لما يستطيع الحاسوب القيام به وما لا يستطيع القيام به .
المجالات القريبة في علم الحاسوب النظري هي تحليل الخوارزميات و نظرية الحاسوبية . ولعل الاختلاف بين تحليل الخوارزميات ونظرية التعقيد الحسابية هو أن الأول يسأل عن خوارزمية معينة لحل مسألة بينما الاخر يسأل عن كل الخوارزميات التي يمكنها حل المسألة وبالتحديد فان الأخير يحاول تصنيف المسائل التي يمكن حلها أو عدم حلها بوضع كمية مُحددة من الموارد، اما وضع الحدود للموارد الموجودة هو ما يميز نظرية التعقيد الحسابي عن نظرية الحاسوبية أي أن نظرية الحاسوبية تسأل عن أية مسائل يمكن حلها (او عدم حلها) بواسطة خوارزمية.
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا