تحليل حقيقي
2005
التحليل الحقيقي إنج Real analysis أحد فروع رياضيات الرياضيات التي تتعامل مع مجموعة (توضيح) مجموعة عدد حقيقي الأعداد الحقيقية و دالة رياضية الدوال المعرفة عليها. يمكن النظر إلى التحليل الحقيقي على أنه نسخة مدققة من تفاضل وتكامل علم الحسبان (التفاضل والتكامل) يدرس مصطلحات مثل متتالية المتتاليات و نهاية رياضية نهاياتها ، الدوال المتصلة الاستمرار في الدوال، اشتقاق (رياضيات) الاشتقاق الرياضي ، تكامل التكاملات الرياضية وأخيرا متتاليات الدوال. بالتالي يقدم التحليل الحقيقي نظرية متقنة حول فكرة الدوال العددية 'numerical function'، كما يتضمن نظريات حديثة حول دالة معممة الدوال المعممة .
الدالة الحقيقية هي دالة فيها كل مجال والمجال المقابل مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية.
عادة ما يبدأ تقديم التحليل الحقيقي في النصوص الرياضية المتقدمة برهان رياضي ببراهين بسيطة في نظرية المجموعات المبسطة ، ثم تعريف واضح لمصطلح الدالة الرياضية، ثم مقدمة عدد طبيعي للأعداد الطبيعية وتقنيات البرهان الهامة استقراء رياضي للاستقراء الرياضي .
من ثم تعمد النصوص المرجعية إلى تقديم عدد حقيقي الأعداد الحقيقية بديهية بشكل بدهي (أكسيوماتي) أو يتم تشكيلها من متتالية كوشي متتاليات كوشي و حد ديديكايند حد ديدكايند عدد كسري للأعداد الجذرية . النتائج البدئية تشتق أولا، أهمها خواص قيمة مطلقة القيمة المطلقة ، مثل متباينة المثلث متراجحة المثلث و متراجحة برنولي .
مصطلح < >التقارب يعتبر مفهوما مركزيا في التحليل الحقيقي، فهو يقدم من خلال نهاية رياضية نهايات المتتاليات. يمكن اشتقاق عدة قوانين رياضية تحكم عملية الانتهاء، وبالتالي يمكن حساب عدة نهايات. كما يدرس هنا أيضا المتسلسلات اللامنتهية Infinite series وهي عبارة عن نوع خاص م المتتاليات. من ثم تقدم متسلسلة قوى متسلسلات القوى القدرة على تعريف دوال مركزية متعددة مثل دالة أسية الدالة الأسية exponential function و دوال مثلثية الدوال المثلثية . من ثم يتم تقديم أنماط مهمة من المجموعات الجزئية مثل مجموعة مفتوحة المجموعات المفتوحة و مجموعة مغلقة المجموعات المغلقة ، فضاء مضغوط المجموعات المضغوطة مع خواصها المختلفة مثل مبرهنة بولزانو-ويرستراس و مبرهنة هاين-بوريل .
من أهم أقسام التحليل الحقيقي