تم النشر اليوم 05-12-2025 | متجهة تمثيل المتجهات

تمثيل المتجهات

vector from A to B.svg تصغير 200 بك سهم المتجه من A إلى B. يشار إلى المتجهات عادة بحروف صغيرة ثخينة، مثل a أو مائلة أيضا مثل < >a (تمثل الحروف الكبيرة عادة مصفوفة المصفوفات ). كما يصطلح على كتابتها vec a أو < >a عند كتابتها باليد. إذا كان المتجه يمثل إزاحة من النقطة < >A إلى النقطة < >B كما في الشكل، يرمز عندها له بـ overrightarrow AB أو < >AB. يستخدم رمز القبعة (^) للإشارة إلى متجه الوحدة متجهات الوحدة ، كما في oldsymbol hat a . قوة للقوة متجه طوله يبين مقدارها واتجاه المتجه تمثل إتجاه القوة. تظهر المتجهات في المخططات والرسومات كأسهم ( قطعة مستقيمة قطع مستقيمة موجهة)، كما هو موضح في الشكل. تسمى هنا النقطة < >A المبدأ، وتسمى النقطة < >B الرأس. يتناسب طول السهم مع مقدار (رياضيات) مقدار المتجه، بينما يشير اتجاه السهم إلى اتجاه المتجه. Notation for vectors in or out of a plane.svg تصغير 200 بك ونحتاج في المخططات ثنائية البعد إلى ترميز المتجه بدوائر صغيرة (كما في الشكل جانبا)، حيث تكون بعض المتجهات عمودي عمودية على مستوي المخطط. يرمز للمتجه بنقطة داخل دائرة صغيرة عندما يكون المتجه متجها خارج المخطط باتجاه المشاهد. بينما يرمز له بدائرة مرسوم في داخلها إشارة الضرب عندما يكون المتجه متجها إلى داخل المخطط. ويمكن تذكرها باعتبار النقطة هي منظر لرأس السهم، وإشارة الضرب هي منظر لذيل السهم (الريشة). Position vector.svg تصغير متجه في نظام إحداثي ديكارتي ، يوضح موضع النقطة A مع الإحداثيات (2،3) 3D Vector.svg 300 قد يكون التمثيل البياني من أجل حساب المتجهات متعبًا ومعقدًا. فالمتجهات في الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد يمكن أن تمثل في نظام إحداثي ديكارتي . يمكن تعيين نهاية المتجه بوضعها في قائمة مرتبة من عدد حقيقي الأعداد الحقيقية . وكمثال في الفضاء ثنائي الأبعاد (الشكل جانبا)، يكتب المتجه من مبدأ الإحداثيات < >O (0,0) إلى النقطة < >A (2,3) بالشكل

mathbf a (2,3).

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (أو mathbb R ^3)، تعرف المتجهات بثلاثة أرقام تمثل الإحداثيات الكارتيزية لنقطة النهاية (< >a,< >b,< >c)

mathbf a (a, b, c).

توضع هذه الأعداد غالبا في مصفوف عمود أو مصفوف سطر ، وخصوصا عندما نتعامل مع المصفوفات، كالتالي

mathbf a egin bmatrix

a\r b\r c\r end bmatrix

mathbf a [ a b c ].

الطريقة الأخرى لتمثيل المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي باستخدام متجه الوحدة متجهات الوحدة الأساسية الثلاث

mathbf e _1 (1,0,0), mathbf e _2 (0,1,0), mathbf e _3 (0,0,1).

وفق هذا الاصطلاح، يكتب أي متجه في الفضاء الاتجاهي ثلاثي الأبعاد mathbb R ^3 بالشكل

(a,b,c) a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) a mathbf e _1 + b mathbf e _2 + c mathbf e _3.

في دروس الفيزياء التمهيدية، تستبدل هذه المتجهات الثلاث بـ oldsymbol i ,oldsymbol j ,oldsymbol k (أو oldsymbol hat x , oldsymbol hat y , oldsymbol hat z )، ولكن تعارض هذه التسمية مع دليل ترميز دليل الترميز (Index notation) و اصطلاح تجميع (summation convention) المستخدمين في المستويات المتقدمة في الرياضيات، والفيزياء والهندسة.

خصائص أساسية

المقطع التالي يستخدم نظام إحداثي ديكارتي مع متجهات وحدة أساسية

mathbf e _1 (1,0,0), mathbf e _2 (0,1,0), mathbf e _3 (0,0,1)

ويفترض أن جميع المتجهات تبدأ من مركز الإحداثيات O. وتعني كل من

mathbf e _1 (1,0,0) وحدة متجه في اتجاه المحور x

mathbf e _2 (0,1,0) وحدة المتجه في اتجاه المحور y

mathbf e _3 (0,0,1) وحدة المتجه في اتجاه المحور z

وتستخدم الإحداثيات (1,0,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,1 ) بصفة أساسية مع بلورات البلورات ، في وصفها وحساباتها .

يكتب المتجه a على الوجه التالي

mathbf a a_1 mathbf e _1 + a_2 mathbf e _2 + a_3 mathbf e _3.

(يمكن تخيل المتجه a يبدأ من ركن في بلورة مكعبة أو متوازية الأضلاع وينتهي في ركن آخر . أو أن يبدأ في نظام إحداثي كروي من المركز وينتهي عند تقابله بسطح الكرة ).

تساوي المتجهات

يقال عن متجهين أنهما متساويان إذا كان لهما نفس مقدار (رياضيات) المقدار ونفس الاتجاه. وعلى هذا الوجه تكون المتجهات متساوية إذا تساوت إحداثياتها. فالمتجهين

mathbf a a_1 mathbf e _1 + a_2 mathbf e _2 + a_3 mathbf e _3

و

mathbf b b_1 mathbf e _1 + b_2 mathbf e _2 + b_3 mathbf e _3

متساويين إذا تحقق

a_1 b_1,quad a_2 b_2,quad a_3 b_3.,

جمع المتجهات وطرحها

ليكن a , b متجهين في نفس الاتجاه ، فيكون مجموعهما بافتراض تساويهما

a + a 2a

وفي حالة تضادهما

a - a 0

وفي حالة أخرى مع اعتبار مركباتها نفترض أن a < >a1e1 + < >a2e2 + < >a3e3 و b < >b1e1 + < >b2e2 + < >b3e3, حيثe1،e2، e3 هي متجه الوحدة متجهات الوحدة متعامدة. Vector addition.svg تصغير 250 بك الشكل 2 جمع المتجهات فيكون مجموع a وb هو

mathbf a +mathbf b

(a_1+b_1)mathbf e_1 +(a_2+b_2)mathbf e_2 +(a_3+b_3)mathbf e_3 . ويمكن تمثيل جمع المتجاهات بشكل بياني بوضع بداية المتجه b عند نهاية المتجه a، ثم رسم متجه من بداية المتجه a إلى نهاية المتجه b. يمثل المتجه الجديد المرسوم a + b، كما هو مبين في الشكل 2. تسمى طريقة الجمع هذه بقاعدة متوازي الأضلاع، لأن a وb يشكلان أضلاع متوازي الأضلاع. طرح a وb هو

mathbf a -mathbf b

(a_1-b_1)mathbf e_1 +(a_2-b_2)mathbf e_2 +(a_3-b_3)mathbf e_3 يمكن تمثيل طرح المتجهات بيانيًا أيضًا كما يلي لطرح b من a، نضع نهاية a وb عند نفس النقطة، ثم يرسم سهم من نهاية b إلى نهاية a. يمثل هذه المتجه الجديد a − b، كما هو موضح في الشكل 3. Vector subtraction.svg تصغير 250 بك الشكل 3 طرح المتجهات a وb

متجهات وغير المتجهات

أمثلة لكميات متجهة

• قوة
• الازاحة
• السرعة يمكن تمثيلها كمتجة, كمثال 5 مثر لكل ثانية, بإتجاه الاعلى تمثل متجة (0,5), حيث يمثل المحور الصادي, الاتجاه الى الاعلى
• تسارع التسارع

أمثلة لكميات غير متجهة ( لا يمكن تمثيلها بمتجه)

• الطاقة
• الزمن
• الكثافة
• اللزوجة
• الحرارة

جمع متجهات

محصلة متجهين متساويين ومتضادين تساوي صفرا . يمكن جمع المتجهات بطريقة متوازي أضلاع القوى الذي يتبع أحد قوانين الميكانيكا الذي ينص على أن إذا عملت قوة قوتان في نقطة فيمكن أن يعبر عنهما بقوة واحدة. تسمى تلك القوة محصلة . عمليا نقوم برسم متجهين للقوتين (أي نختار طول معين لكل منهما ) ونمثل اتجاهيهما بسهمين . نرسم متوازيان للسهمين فيكمل تقاطعهما شكل متوازي الأضلاع . نرسم خط يبدأ من زاوية إلتقاء بداية المتجهين ونوصل رأسه إلى الزاوية المقابلة فيكون بهذا قطر متوازي الأضلاع الذي يمثل محصلة المتجهين . معكوس تلك العملية يسمى متوازي أضلاع القوى تحليل القوة إلى مركبتين ، حيث نجزئ متجه قوة ما إلى مركبتين عموديتان على بعضهما البعض، ومن خلال تلك العملية يمكن حساب مقدار كل من المركبتين الممثلين للقوة الأصلية ولكن بالنسبة للإحداثيات الديكارتية . يمكن تعميم هذه الطريقة للحصول على محصلة عدة قوي ، ثلاثة أو أربعة أو أكثر... فيما يسمى مضلع القوى .

جمع قوتين بالرسم البياني

نفترض أن قوتين تؤثر على جسم . يمكننا بواسطة الرسم البياني تعيين المحصلة ، كالآتي

1. نرسم القوتان كسهمين مقياس الرسم بمقياس رسم معين ، من حيث المقدار والاتجاه ،
2. نرسم من رأس السهم الأول خطا موازيا للسهم الثاني ،
3. ونرسم من رأس السهم الثاني خطا موازيا للسهم الأول . يتقاع الخطان ويكتمل متوازي الأضلاع .
4. المحور الباديء من نقطة تأثير القوتين إلى نقطة تقاطع الخطين هي محصلة القوتين ، وتقوم مقامهما .

Kraefteparallelogramm-schritt-1.svg خطوة 1 Kraefteparallelogramm-schritt-2.svg خطوة 2 Kraefteparallelogramm-schritt-3.svg خطوة 3 Kraefteparallelogramm-schritt-4.svg خطوة 4 ميز شعاع Crossproduct.png تصغير توضيح للضرب الإتجاهي في الرياضيات ، وبشكل خاص في فضاء اتجاهي التحليل الاتجاهي ، المُتّجِه أو المتجهة أو الحامل (يوافقه باللاتينية لفظ vector، من vehere بمعى حمل) - لغت نامه دهخدا] إنك Vector هو سهم يتجه من نقطة إلى أخرى. يتحدد كل متجه في الرياضيات بثلاثة عناصر المقدار وهو كمية قياسية تُمَثًّل بطول المتجه، الاتجاه يمكن تحديده في فضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق زوايا اويلر]، و نقطة التأثير وهي النقطة التي ينطلق منها المتجه بحاجة لمصدر . ومع أن المتجه يوصف بدلالة أرقام بعضها تعتمد على نوع جملة الإحداثيات، إلا أنه لا يعتمد على جملة الإحداثيات. المثال المشهور للمتجه هو القوة الفيزيائية، فإن له مقدارًا واتجاهًا في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة تأثير، كما تتبع قاعدة جمع المتجهات (حسب قاعدة متوازي الأضلاع ) عندما نريد جمع قوى متعددة.