طريقة جاوس سيدل الوصف
الوصف
تعتمد طريقة جاوس سيدل على طريقة تكرارية أسلوب التكرار لحل معادلات خطية عددها n بمجهول x.
- Amathbf x mathbf b
وتعرّف بالتكرار
- L_* mathbf x ^ (k+1) mathbf b – U mathbf x ^ (k) ,
بحيث
mathbf x ^ (k) هو التكرار أو التقريب رقم < >k لـmathbf x ,,mathbf x ^ k+1 هو التكرار رقم < >k + 1 لـmathbf x .
وبالتفصيل
- A egin bmatrix a_ 11 & a_ 12 & cdots & a_ 1n a_ 21 & a_ 22 & cdots & a_ 2n vdots & vdots & ddots & vdots a_ n1 & a_ n2 & cdots & a_ nn end bmatrix , qquad mathbf x egin bmatrix x_ 1 x_2 vdots x_n end bmatrix , qquad mathbf b egin bmatrix b_ 1 b_2 vdots b_n end bmatrix .
- A L_*+U qquad ext where qquad L_* egin bmatrix a_ 11 & 0 & cdots & 0 a_ 21 & a_ 22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots a_ n1 & a_ n2 & cdots & a_ nn end bmatrix , quad U egin bmatrix 0 & a_ 12 & cdots & a_ 1n 0 & 0 & cdots & a_ 2n vdots & vdots & ddots & vdots & 0 & cdots & 0 end bmatrix .
ومن ثم يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كما يلي
- L_* mathbf x mathbf b – U mathbf x
- mathbf x ^ (k+1) L_*^ -1 (mathbf b – U mathbf x ^ (k) ).
- x^ (k+1) _i frac 1 a_ ii (b_i – sum_ ji a_ ij x^ (k) _j
ight),quad i,j 1,2,ldots,n. harvnb Golub Van Loan 1996 loc eqn (10.1.3) .
مثال
A mathbf x mathbf b
- A
egin bmatrix
16 & 3
7 & -11
end bmatrix
and b
egin bmatrix
11
13
end bmatrix .
نحتاج لاستخدام المعادلة
- mathbf x ^ (k+1) L_*^ -1 (mathbf b – U mathbf x ^ (k) )
في صورة
- mathbf x ^ (k+1) T mathbf x ^ (k) + C
حيث
- T – L_*^ -1 U وC L_*^ -1 mathbf b .
يجب أن نحلل المصفوفة A_ ^ إلى مجموع L_*^ وU_ ^
- L_*
egin bmatrix
16 & 0
7 & -11
end bmatrix
و U
egin bmatrix
0 & 3
0 & 0
end bmatrix .
ومعكوس L_*^ هو
- L_*^ -1
egin bmatrix
16 & 0
7 & -11
end bmatrix ^ -1
egin bmatrix
0.0625 & 0.0000
0.0398 & -0.0909
end bmatrix
.
نستطيع الآن إيجاد
- T –
egin bmatrix
0.0625 & 0.0000
0.0398 & -0.0909
end bmatrix
imes
egin bmatrix
0 & 3
0 & 0
end bmatrix
egin bmatrix
0.000 & -0.1875
0.000 & -0.1193
end bmatrix ,
- C
egin bmatrix
0.0625 & 0.0000
0.0398 & -0.0909
end bmatrix
imes
egin bmatrix
11
13
end bmatrix
egin bmatrix
0.6875
-0.7443
end bmatrix .
بذلك نكون قد حصلنا على T_ ^ وC_ ^
نفرض
- x^ (0)
egin bmatrix
1.0
1.0
end bmatrix .
ثم يمكننا أن نحسب
- x^ (1)
egin bmatrix
0.000 & -0.1875
0.000 & -0.1193
end bmatrix
imes
egin bmatrix
1.0
1.0
end bmatrix
+
egin bmatrix
0.6875
-0.7443
end bmatrix
egin bmatrix
0.5000
-0.8636
end bmatrix .
- x^ (2)
egin bmatrix
0.000 & -0.1875
0.000 & -0.1193
end bmatrix
imes
egin bmatrix
0.5000
-0.8636
end bmatrix
+
egin bmatrix
0.6875
-0.7443
end bmatrix
egin bmatrix
0.8494
-0.6413
end bmatrix .
- x^ (3)
egin bmatrix
0.000 & -0.1875
0.000 & -0.1193
end bmatrix
imes
egin bmatrix
0.8494
-0.6413
end bmatrix
+
egin bmatrix
0.6875
-0.7443
end bmatrix
egin bmatrix
0.8077
-0.6678
end bmatrix .
- x^ (4)
egin bmatrix
0.000 & -0.1875
0.000 & -0.1193
end bmatrix
imes
egin bmatrix
0.8077
-0.6678
end bmatrix
+
egin bmatrix
0.6875
-0.7443
end bmatrix
egin bmatrix
0.8127
-0.6646
end bmatrix .
- x^ (5)
egin bmatrix
0.000 & -0.1875
0.000 & -0.1193
end bmatrix
imes
egin bmatrix
0.8127
-0.6646
end bmatrix
+
egin bmatrix
0.6875
-0.7443
end bmatrix
egin bmatrix
0.8121
-0.6650
end bmatrix .
- x^ (6)
egin bmatrix
0.000 & -0.1875
0.000 & -0.1193
end bmatrix
imes
egin bmatrix
0.8121
-0.6650
end bmatrix
+
egin bmatrix
0.6875
-0.7443
end bmatrix
egin bmatrix
0.8122
-0.6650
end bmatrix .
- x^ (7)
egin bmatrix
0.000 & -0.1875
0.000 & -0.1193
end bmatrix
imes
egin bmatrix
0.8122
-0.6650
end bmatrix
+
egin bmatrix
0.6875
-0.7443
end bmatrix
egin bmatrix
0.8122
-0.6650
end bmatrix .
وبذلك تكون قيمة x
- mathbf x A^ -1 mathbf b egin bmatrix 0.8122 -0.6650 end bmatrix .
في جبر خطي عددي الجبر الخطي العددي ، طريقة جاوس سيدل المعروفة أيضًا بطريقة ليبمان، هي طريقة تكرارية تستخدم في حل نظام معادلات خطية نظم المعادلات الخطية . وسميت على اسم عالمي الرياضيات ألمانيا الألمانيين كارل فريدريش غاوس و فيليب فون لوديش سيدل . وذكرت فقط في رساله خاصة من جاوس إلى تلميذه كريستيان غيرلنغ عام 1823.
harvnb Gauss 1903 p 279 direct link. لكنها لم تنشر إلا من قبل سيدل عام 1874.