مقالات

طريقة جاوس سيدل الوصف


الوصف

تعتمد طريقة جاوس سيدل على طريقة تكرارية أسلوب التكرار لحل معادلات خطية عددها n بمجهول x.

Amathbf x mathbf b

وتعرّف بالتكرار

L_* mathbf x ^ (k+1) mathbf b – U mathbf x ^ (k) ,

بحيث

mathbf x ^ (k) هو التكرار أو التقريب رقم < >k لـmathbf x ,,mathbf x ^ k+1 هو التكرار رقم < >k + 1 لـmathbf x .

وبالتفصيل

A egin bmatrix a_ 11 & a_ 12 & cdots & a_ 1n a_ 21 & a_ 22 & cdots & a_ 2n vdots & vdots & ddots & vdots a_ n1 & a_ n2 & cdots & a_ nn end bmatrix , qquad mathbf x egin bmatrix x_ 1 x_2 vdots x_n end bmatrix , qquad mathbf b egin bmatrix b_ 1 b_2 vdots b_n end bmatrix .

A L_*+U qquad ext where qquad L_* egin bmatrix a_ 11 & 0 & cdots & 0 a_ 21 & a_ 22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots a_ n1 & a_ n2 & cdots & a_ nn end bmatrix , quad U egin bmatrix 0 & a_ 12 & cdots & a_ 1n 0 & 0 & cdots & a_ 2n vdots & vdots & ddots & vdots & 0 & cdots & 0 end bmatrix .

ومن ثم يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كما يلي

L_* mathbf x mathbf b – U mathbf x

mathbf x ^ (k+1) L_*^ -1 (mathbf b – U mathbf x ^ (k) ).

x^ (k+1) _i frac 1 a_ ii (b_i – sum_ ji a_ ij x^ (k) _j
ight),quad i,j 1,2,ldots,n. harvnb Golub Van Loan 1996 loc eqn (10.1.3) .

مثال

A mathbf x mathbf b

A

egin bmatrix

16 & 3

7 & -11

end bmatrix

and b
egin bmatrix

11

13

end bmatrix .

نحتاج لاستخدام المعادلة

mathbf x ^ (k+1) L_*^ -1 (mathbf b – U mathbf x ^ (k) )

في صورة

mathbf x ^ (k+1) T mathbf x ^ (k) + C

حيث

T – L_*^ -1 U وC L_*^ -1 mathbf b .

يجب أن نحلل المصفوفة A_ ^ إلى مجموع L_*^ وU_ ^

L_*

egin bmatrix

16 & 0

7 & -11

end bmatrix

و U
egin bmatrix

0 & 3

0 & 0

end bmatrix .
ومعكوس L_*^ هو

L_*^ -1

egin bmatrix

16 & 0

7 & -11

end bmatrix ^ -1

egin bmatrix

0.0625 & 0.0000

0.0398 & -0.0909

end bmatrix

.

نستطيع الآن إيجاد

T –

egin bmatrix

0.0625 & 0.0000

0.0398 & -0.0909

end bmatrix

imes

egin bmatrix

0 & 3

0 & 0

end bmatrix

egin bmatrix

0.000 & -0.1875

0.000 & -0.1193

end bmatrix ,

C

egin bmatrix

0.0625 & 0.0000

0.0398 & -0.0909

end bmatrix

imes

egin bmatrix

11

13

end bmatrix

egin bmatrix

0.6875

-0.7443

end bmatrix .

بذلك نكون قد حصلنا على T_ ^ وC_ ^

نفرض

x^ (0)

egin bmatrix

1.0

1.0

end bmatrix .
ثم يمكننا أن نحسب

x^ (1)

egin bmatrix

0.000 & -0.1875

0.000 & -0.1193

end bmatrix

imes

egin bmatrix

1.0

1.0

end bmatrix

+

egin bmatrix

0.6875

-0.7443

end bmatrix

egin bmatrix

0.5000

-0.8636

end bmatrix .

x^ (2)

egin bmatrix

0.000 & -0.1875

0.000 & -0.1193

end bmatrix

imes

egin bmatrix

0.5000

-0.8636

end bmatrix

+

egin bmatrix

0.6875

-0.7443

end bmatrix

egin bmatrix

0.8494

-0.6413

end bmatrix .

x^ (3)

egin bmatrix

0.000 & -0.1875

0.000 & -0.1193

end bmatrix

imes

egin bmatrix

0.8494

-0.6413

end bmatrix

+

egin bmatrix

0.6875

-0.7443

end bmatrix

egin bmatrix

0.8077

-0.6678

end bmatrix .

x^ (4)

egin bmatrix

0.000 & -0.1875

0.000 & -0.1193

end bmatrix

imes

egin bmatrix

0.8077

-0.6678

end bmatrix

+

egin bmatrix

0.6875

-0.7443

end bmatrix

egin bmatrix

0.8127

-0.6646

end bmatrix .

x^ (5)

egin bmatrix

0.000 & -0.1875

0.000 & -0.1193

end bmatrix

imes

egin bmatrix

0.8127

-0.6646

end bmatrix

+

egin bmatrix

0.6875

-0.7443

end bmatrix

egin bmatrix

0.8121

-0.6650

end bmatrix .

x^ (6)

egin bmatrix

0.000 & -0.1875

0.000 & -0.1193

end bmatrix

imes

egin bmatrix

0.8121

-0.6650

end bmatrix

+

egin bmatrix

0.6875

-0.7443

end bmatrix

egin bmatrix

0.8122

-0.6650

end bmatrix .

x^ (7)

egin bmatrix

0.000 & -0.1875

0.000 & -0.1193

end bmatrix

imes

egin bmatrix

0.8122

-0.6650

end bmatrix

+

egin bmatrix

0.6875

-0.7443

end bmatrix

egin bmatrix

0.8122

-0.6650

end bmatrix .

وبذلك تكون قيمة x

mathbf x A^ -1 mathbf b egin bmatrix 0.8122 -0.6650 end bmatrix .

في جبر خطي عددي الجبر الخطي العددي ، طريقة جاوس سيدل المعروفة أيضًا بطريقة ليبمان، هي طريقة تكرارية تستخدم في حل نظام معادلات خطية نظم المعادلات الخطية . وسميت على اسم عالمي الرياضيات ألمانيا الألمانيين كارل فريدريش غاوس و فيليب فون لوديش سيدل . وذكرت فقط في رساله خاصة من جاوس إلى تلميذه كريستيان غيرلنغ عام 1823.

harvnb Gauss 1903 p 279 direct link. لكنها لم تنشر إلا من قبل سيدل عام 1874.

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى