تم النشر اليوم 07-12-2025 | رمز O الكبير تعريف

تعريف

رمز O كبير نقول أَنَّ g(n) in O(f(n)) او g(n) O(f(n)) اذا كان هنالك ثابت c بحيث انه يوجد n_0 in N ولكل n>n_0 يحدث التالي g(n)le c cdot f(n) اي انه اذا تخيلنا رسم الدالتين f و- g حينها نرى ان الدالة f اعلى من الدالة g ابتداء من مكان معين.

على غرار رمز O الكبير يمكن تعريف الرموز التالية

• رمز &Omega نقول أَنَّ g(n) in Omega(f(n)) او g(n) Omega(f(n)) اذا كان هنالك ثابت c بحيث انه يوجد n_0 in N ولكل n>n_0 يحدث التالي g(n)ge c cdot f(n) اي انه اذا تخيلنا رسم الدالتين f و- g حينها نرى ان الدالة f تحت الدالة g ابتداء من مكان معين.
• رمز &Theta نقول أَنَّ g(n) in Theta(f(n)) او g(n) Theta(f(n)) اذا كان هنالك ثابت c_1 ,c_2 بحيث انه يوجد n_0 in N ولكل n>n_0 يحدث التالي c_1 cdot f(n) le g(n)le c_2cdot f(n) اي انه g(n) Theta(f(n)) اذا g(n) O(f(n)) وأيضا g(n) Omega(f(n)) اي انَّ الرسم البياني للدالة g محصور بين c_1 cdot f وبين c_2 cdot f .

تحليل الخوارزميات

عند تحليل خوارزمية ما, نريد حساب عدد الحسابات او سرعة الخوارزمية او تعقيدها الحسابي , ونستطيع كتابة التعقيد الحسابي اما عن طريق معادلة عودية واما بطريقة مباشرة , في كلا الحالتين نرمز للتعقيد ب- T(n) عندما n هو طول المُدخل للخوارزمية , مثال لخوارزمية هي بحث خطي خوارزمية البحث الخطي من المفهوم ضمنا ان عدد حساباتها هو T(n) O(n) وذلك لانها تقارن كل عدد في القائمة مرة واحدة مع العدد المُدخل وبما ان طول القائمة هو فرضا n عندها عدد حسابات الخوارزمية هو (قيمة المقارنة الواحدة) cdot n وفيمة المقارنة الواحدة تعتمد على نموذج الحساب (computational model) لذا قد يكون من الصعب اعطاء تقريب لهذه القيمة لذا فانه من المفيد ان نفترض ان قيمة كل مقارنة هو عدد ثابت من الحسابات اي انه يوجد ثابت c بحيث ان كل مقارنة عدد حساباتها اقل من c , لذا فاننا نحصل على T(n) le c cdot n وحسب تعريف رمز O الكبير نحصل على انه T(n) O(n) .

خواص رمز O كبير والرموز الاخرى

Function growth 2900 nail الصورة توضح انه باختيار الثابت الصحيح في رمز O الكبير يمكن اهمال احادية الحدود التي أُسها صغير وكذلك يمكن اهمال المعاملات المضروبة باحادية الحدود

اهمال الثوابت والدوال ذات الدرجة الصغيرة

بما ان رمز O الكبير يفترض وجود ثابت c بحيث انه يُحقق امر مُعين (حسب التعريف ) لذا فانه يمكن اهمال الثوابت , مثال T(n) 2 cdot n^5 +n^4+n^3 يمكن اهمال العدد 2 المضروب ب- n^5 وكذلك يمكن اهمال n^4+n^3 وذلك لانه اذا اخذنا ثابت كبير كفاية يمكن حينها ان نهمل الثوابت واحادية الحدود التي اسها صغير وكذلك المعاملات(انظر إلى الصورة) لذا فانه , T(n) O(n^5) وبشكل عام اذا كان تعقيد الخوارزمية متعدد الحدود فاذا كان الاس الاكبر هو k حينها T(n) O(n^k) .

خاصية التعدي

f(n) Theta(g(n)) وكذلك g(n) Theta(h(n)) حينئذ يتحقق f(n) Theta(h(n)) f(n) O(g(n)) وكذلك g(n) O(h(n)) حينئذ يتحقق f(n) O(h(n)) f(n) Omega(g(n)) وكذلك g(n) Omega(h(n)) حينئذ يتحقق f(n) Omega(h(n))

خاصية الانعكاسية

f(n) Theta(f(n)) f(n) O(g(n)) f(n) Omega(g(n))

خاصية التماثل

f(n) Theta(g(n)) اذا وفقط اذا g(n) Theta(f(n))

جدول دوال

- ! ترميز !! تعقيد !! مثال لخوارزمية - mbox O(1) ثابت مقارنة عددين - mbox O(log(n)) لوغاريثمي بحث ثنائي - mbox O(n log(n)) لوغاريثمي-خطي تصنيف اعداد - O((mbox log ^mbox c mbox (n))) لوغاريثمي-متعدد فحص الاولية اي باعطائنا عدد افحص اذا ما هو عدد اولي . - mbox O(n) خطي بحث خطي - mbox O(n ^2) رباعي ضرب عددين - mbox O(n ^mbox c ) حدودي ضرب مصفوفتين - mbox O(c ^mbox n ) أسي تلوين مخطط بثلاثة الوان - mbox O(n!) عاملي حل مسـالة البائع المتجول Big-O-notation.png 400 مثال على رمز O الكبير ((f(x) ∈ O(g(x بما أنه يوجد c  >  0 (كما في المثال، c    1) و x0 (كما في المثال، x0    5) حيث (f(x)    x0. يتطرق الرمز O الكبير لمجموعة من الدوال التي تتعلق فيما بينها بالتسارع بالنسبة للاعداد الطبيعية , وبشكل عام توجد عدة رموز كل منها له مفهومه الخاص وقد نشط استخدام هذا الرمز في تحليل سرعة الخوارزميات وذلك لأن حساب عدد العمليات التي تنفذها خوارزمية ما قد يكون مستحيلاً في بعض الأحيان مع وجود كثير من الأمور التي تؤثر على عدد العمليات لذا فإن إعطاء تقريب لعدد العمليات التي تقوم بها الخوارزمية أكثر راحةً لنا والرمز O الكبير يتيح هذا الامر بسهولة .