تم النشر اليوم [dadate] | سر أسرار الرياضيات.. 7 من أهم خصائص اللوغاريتمات .. معلومات رياضية مدهشة

خصائص اللوغاريتمات

لو حاولنا أن نصف اللوغاريتمات، فإنها تعتبر سر أسرار الرياضيات، والشيء الذي يجعل الرياضيات ذات قيمة كبيرة في تفسير العلوم الأخرى، فإنها أساس مجال الكمبيوتر مثلاً، كما أنها تستخدم في العديد من حل المعادلات المعقدة، وغيرها من الجوانب الرياضية المدهشة، ولهذه اللوغاريتمات خصائص هامة، ولابد من معرفة هذه الخصائص بالتفصيل وفهمها كي يتم فك شفرة هذه اللوغاريتمات وفهم أهميتها الكبيرة في عالم الرياضيات، في هذا المقال نلقي نظرة شاملة وكاملة حول خصائص اللوغاريتمات، والمسائل الرياضية المستخدمة فيها مع معرفة العديد من الأمثلة التي يمكننا معرفتها حول تفسير هذه اللوغاريتمات.

تاريخ اكتشاف اللوغاريتمات

يمكن أن نضع تاريخ وضع اللوغاريتمات، من تاريخ وضع علم الجبر والمقابلة، حيث العالم المسلم محمد بن موسى الخوارزمي الذي وضع هذا العلم، وجعله من ضمن علوم الرياضيات الهامة، بل اهمها على الإطلاق، ولعل كلمة الخوارزميات أو اللوغاريتمات مشتقة من اسم الرجل الذي وضعها بالفعل وأسس مبادئها الخاصة، فما هي الخوارزميات؟ الخوارزميات هي هي اللوغاريتمات عزيزي القارىء، وكثيراً ما تسمع عنها خاصة في عالم الحواسيب في الوقت الحالي، فهي معادلات حسابية معقدة يمكن الاستفادة منها في عمليات الذكاء الاصطناعي الآن، أي أن العلماء استفادوا من خصائص المعادلات اللوغاريتمية أقصى استفادة وطبقوها من أجل الحصول على نتائج مدهشة من الذكاء الاصطناعي للآلات الذكية الحاسوبية. وتعتبر صناعة البرمجيات والتطبيقات الموجودة في الحاسب أو الهاتف الذكي الذي تحمله الآن مستقي من هذه الخوارزميات أو اللوغاريتمات، مما يجعلنا نتسائل ما هي اللوغاريتمات وما هي خصائصها؟ في السطور القليلة القادمة نحاول أن نعمل على تبسيط المعلومات الرياضية المعقدة عن خصائص اللوغاريتمات، حيث نلقي نظرة عامة عليها، وعلى المعادلات المستخدمة فيها، وما هي الخصائص العامة التي وضعها العلماء من أجل الاستفادة منها، ثم نختم ببعض الأمثلة لحل المعادلات الخوارزمية أو اللوغاريتمية، فهيا بنا إلى هذه الجوّلة الرياضية الممتعة. نظرة حول اللوغاريتمات ومعادلاتها الهامة في عالم الرياضيات. اللوغاريتمات ببساطة عبارة عن عملية حسابية عكسية، للعمليات الحسابية البسيطة مثل الجمع والقسمة والتي يقابلها على الترتيب العمليات العكسيية لها أي عملية الطرح والضرب، فإن اللوغاريتم نفسه يعتبر العملية العكسية للعمليات الحسابية تلك. وبمنتهى البساطة عندما يتم رفع العدد 2 للقوة 4 فإن الناتج النهائي 16، أو بمعنى آخر، فإن اللوغاريتم 2 مضاعفاً على الرقم الأصلي 4، وكأننا نقوم بضرب العدد 4 في نفسه أو 4 ( العدد الأصلي) في الرقم المضاعف المرفوع وهو اللوغاريتم. وهنا نجد أن معادلة اللوغاريتم البسيطة في المثال السابق، تصف العلاقة بين الأعداد 2- 4 – 16، فالعدد 2 هو الأساس، والعدد 4 هو الأس، أما العدد 16 هو العدد النهائي أو الناتج. حسناً؛ فما هي المعادلة للأعداد السابقة بالصيغة اللوغاريتمية؟ هذه المعادلة هي: 24= 16 ↔ لو2 16 = 4 ويمكننا تطبيق المثال السابق على العديد من الأمثلة، من خلال المعادلات اللوغاريتمية بنفس الصيغة مع اختلاف الأعداد وبالتالي مع اختلاف القيّم العددية. لكن عزيزي القارىء قد تتسائل الآن، هل يوجد صيغة واحدة للمعادلة اللوغاريتمية، ويمكن لهذه المعادلة أن نستخدمها في جميع الأمثلة السابقة؟ بالطبع، فإن المعادلة الآتية التي نعرضها هي المعادلة الأسية اللوغاريتمية، وهي: ب س = أ وهذه هي المعادلة الأسية، وبالتالي فإن المعادلة اللوغاريتمية هي: لوب أ =س. ولتفكيك هذه المعادلة وفهمها تماماً، فإن ب = هو الأساس، و س= الأس، أ = الناتج. وعلى ذلك يمكن تطبيق جميع المعادلات اللوغاريتمية على نفس صيغة المعادلة الأسية واللوغاريتمية.

خصائص اللوغاريتمات .. محاولة لفك شفرة هذه المعادلات

نحاول في السطور التالية، أن نتحدث عن خصائص اللوغاريتمات، حيث نخوض مغامرة في سبر أغوار هذه اللوغاريتمات، ومعرفتها بشكل خاص، فلكل عملية حسابية خصائص، وهذه اللوغاريتمات والمعادلات الرياضية الهامة والممتعة في نفس الوقت، يعتبر لها خصائص هامة، وهي محاولة لفك شفرة هذا اللوغاريتم وطبيعته، وسنحاول في النقاط التالية التي نتعرف من خلالها على الخصائص تبسيط المعلومات قدر الإمكان: لوب 1 = 0 هذه هي الخاصية الأولى، وتستخدم في حال رفع عدد للقوة صفر التي تساوي العدد 1 وبالتالي فإن المعادلة الأسية اللوغاريتمية تكون على هذه الهيئة والصيغة: ب 0 = 1.لوب ب س = س وبالتالي فإن المعادلة الأسية اللوغاريتمية تكون على هذه الصيغة: لو ب ب ق (س) = ق (س).ب لوب س= س وبالتالي فإن المعادلة الأسية اللوغاريتمية: لو ب ق(س) = ق(س).لوب (س×ص) = لوب س + لوب ص.لوب أ = 1/لوأ ب؛ مثل: 5/(2×لوس ص) = (5×لوص س)/2 وهذه الخاصية تدل على أن قلب اللوغاريتم هو جعل البسط مكان المقام، والمقام مكان البسط، أو العكس حيث يؤدي لتبديل الأساس، وبالتالي تتم من خلال المعادلة السابقة.من ضمن الخصائص أيضاً، يمكن ضرب اثنين من اللوغاريتمات أو اكثر في حالتين، منها الحالة الأولى وهي أن يكون اللوغاريتم الأول وناتج أساس اللوغاريتم الثاني ويكون مساوي له. أما الحالة الثانية هي عبارة عن أساس اللوغاريتم الأول وناتج اللوغاريتم الثاني المساوي له، وبالتالي ينتج عنه المعادلة التالية: لوأ ب× لوب جـ = لوأ جـ.يمكن من ضمن الخصائص أيضاً، حساب قيمة اللوغاريتمات العشرية والطبيعية من خلال استخدام الآلة الحاسبة، وذلك يمكن تغيير أساس اللوغاريتم للعدد النيبيري أو العدد رقم 10 وبالتالي تعبر عنه المعادلة التالية بنفس الصيغة: لوأ س = لوب س/لوب أ؛ حيث ب= 10 أو العدد النيبيري هــــ.

اللوغاريتمات وأنواعها

قبل أن نعيش جوّلة ممتعة من خصائص اللوغاريتمات، لابد أن تعرف بالتفصيل أنواع اللوغاريتمات المختلفة، فهي تختلف بناء على قيمة الأساس والذي يختلف من معادلة لمعادلة أخرى، حيث يوجد نوعين من اللوغاريتم، والتي تستخدم الآن في جميع الآلات الحاسبة، وهما: العشري: وها اللوغاريتم العشري أو بالإنجليزية Common Logarithm هو الأكثر انتشاراً بين أنواع اللوغاريتم، وخصائصه عبارة عن أن الأساس هو العدد 10، وفي كثير من الأحيان لا يكتب الأساس هذا النوع ليستدل القارىء تلقائياً على أن الأساس 10 وبالتالي تكون المعادلة الأسية اللوغاريتمية تكون على هذا النحو: لو10 س = لو س. الطبيعي: وهو اللوغاريتم الطبيعي أو بالإنجليزية Natural Logarithm وهو عبارة عن لوغاريتم له أساس للعدد النيبيري كما يسمى في عالم الرياضيات بالرمز هــــ وبالتالي فإن المعادلة اللوغاريتمية والأسية تكون على هذا النحو: لوهـ س أو باللغة الإنجليزية تكون: (ln(x ولمزيد من الفهم؛ جاء الآن دور معرفة خصائص هذه اللوغاريتمات لفهمها بالتفصيل، ثم القيام بمعرفة أمثلة رياضية حسابية عليها حتى يتم تطبيق المعادلات في الواقع على العمليات الحسابية المختلفة، فهيا بنا.

أمثلة حسابية لحل المعادلات اللوغاريتمية

فيما يلي نتعرف أكثر على جميع الخصائص التي تناولناها في النقاط السابقة، حيث نفهم بالتفصيل ما هي هذه الخصائص وكيفية حلها بالتفصيل مع العمليات الحسابية، فهيا بنا لهذه الأمثلة حتى نفهم منها طبيعة اللوغاريتمات بشكل أفضل: المثال الأول نريد أن نتعرف على بعض خصائص اللوغاريتمات لكل من الأعداد التالية: لو 4 16 ب) لو2 16 جـ) لو6 216 د) لو5 (125/1) هـ) لو(3/1) 81 و) لو(2/3) (8/27)؟ الحل: لإيجاد لو4 16 فإننا نقوم في البحث في الأس الذي يكون عن رفع الأساس 2 يعطي ناتج 16 وعليه فإن 4 = 16 وبالتالي فإن لو4 16 = 4 لإيجاد قيمة لو2 16 فإننا نحتاج للبحث عن الأس عند رفع الأساس 2 به ويكون الناتج 16 وعليه فإنها تتم عبر المعادلة 24 = 16 وبالتالي فإن لو2 16= 4 لإيجاد لو6 216 فإننا نحتاج للبحث عن الأس لرفع الأساس 6 وبالتالي يكون الناتج 216 وعليه إن 6 3 = 216 وبالتالي فإن لو6 216 = 3. لإيجاد لو5 (125/1) فإننا نحتاج للبحث عن الأس عند رفع الأساس 5 ويكون الناتج 25/1 وبالتالي فإن الناتج كسر فإن الأس هو العدد الصحيح السالب وعليه فإن 1/125 = 1/53 = 5-3، وبالتالي فإن لو5 (1/125) = -3. لإيجاد ناتج لو(1 /3) 81 فإننا نحتاج للبحث عن الأس وذلك من خلال رفع الأساس 1/3 وبالتالي يكون الناتج 81 وعليه فإن 3 4 = 81، وبالتالي فإن: (1/3)-4 = 43= 81، وبالتالي فإنّ لو1/3 81 = -4. لإيجاد ناتج المعادلة لو(3/2) (27/8) فإننا نبحث عن الأس عند رفع الأساس 2/3 وبالتالي فإن الناتج 27/8 عبر المعادلة التالية: (3/2)3 = 33/ 23 = 27/8، وبالتالي فإنّ لو(3/2)(27/8) = 3. المثال الثاني سنعرض عليك بعض اللوغاريتمات على شكل لوغاريتم واحداً باستخدام خصائص اللوغاريتم عبر الأعداد التالية: أ) 7لو12 س+2لو12 ص ب) 3 لوس – 6 لوص جـ) 5 وهـ (س+ص) – 2 هـ ص – 8لوهـ س؟ يتم الحل عبر المعادلات التالية: 7لو12 س + 2لو12 ص = لو12 س7 + لو12 ص2 = لو12 (س7×ص2). 3 لوس – 6 لوص = لو س3 – لو ص6 = لو (س 3/ص 6). 5 وهـ (س+ص) – 2 هـ ص – 8 ل هـ س = لوهـ (س+ص)5 – (لوهـ ص2 + لوهـ س8) = لو هـ (س+ص)5 – لوهـ (ص2×س 8) = لوهـ ((س+ص)5 / (ص 2×س 8)) المثال الثالث اوجد حل المعادلة اللوغاريتمية التالية: لوس 125×5√= 7؟ يتم تحويل هذه المعادلة إلى المعادلة الأسية كما يلي: س7 = 125×5√ = 5×5×5×5√. بما أنّ: 5 = 5√×5√ فإنّ: (5√×5√)×(5√×5√)×(5√×5√)×5√ = س 7، وعليه: (5√) 7 = س7 وبالتالي فعندما تتساوى الأسس فإن الأساسات تتساوى وبالتالي فإن قيمة س = 5√ المثال الرابع من خلال خصائص اللوغاريتمات التي تعرفنا عليها، أوجد أبسط صورة لكل مما يلي : أ) لو4 (س3 ص5) ب) لو (س9 ص5/ل3) جـ) لوهـ (س×ص)√ د) لو 3 ((س+ص)2/(س2+ص2))؟ الحل: من خلال خصائص اللوغاريتمات المختلفة، فإن أبسط صورة لهذا اللوغاريتم ) لو4 (س3 ص5) هي: لو4 (س3×ص 5) = لو4 (س3) + لو 4 (ص5)، ومنه: 3×لو 4 س + 5×لو4 ص. وباستخدام الخصائص المختلفة للوغاريتمات فإن أبسط صورة لهذا اللوغاريتم لو (س 9 ص 5/ل3) هو المعادلة التالية: لو (س 9 ص 5 / ل3) = لو (س 9 ص 5) – لو ل3، ومنه: لو(س 9 ص 5) – لو ل3 = لو س9 + لو ص5 – لو ل3، وهذا يساوي 9 لو س5 لو ص – 3 لو ل. أما اللوغاريتم التالي لوهـ (س×ص)√ فإنه يتم حله من خلال المعادلة التالية: لوهـ (س×ص)√ = هـ (س×ص)(1/2، ومنه: (1/2)×ل هـ (س×ص)، ومنه: (1/2)×(ل هـ س + هـ ص). أما اللوغاريتم لو3 ((س+ص)2/(س2+ص2 فإنه يتم حله من خلال المعادلة التالية: لو 3 ((س+ص)2/(س2+ص2)) = لو 3 (س+ص)2 – لو 3 (س 2 + ص 2)، ومنه: 2لو3 (س+ص) – لو 3 (س2+ص2). المثال الخامس ما هي نواتج اللوغاريتمات التالية: أ‌) لو4 256 ب) لو5 (0.0016) جـ) لو3 729 د) لو2 (0.015625)؟ الحل يتم من خلال النقاط التالية: اللوغاريتم لو4 256 يتم رفع الأساس 4 وبالتالي يكون الناتج 256 وبما أن 44 = 256 فإنّ لو4 256 = 4. لإيجاد لو2 (0.015625) فإنه يتم البحث عن العدد الذي يرفع فيه الأساس 2 وبالتالي يكون الناتج 0.015625، وبما أنّ (1/2)6 = 2-6 = 1/64، وهو مكافئ للكسر العشري 0.015625، وبالتالي فإن: لو2 (0.015625) = -6. المثال السادس ما هو ناتج اللوغاريتم التالي: لو7 118 يمكن معرفة ناتج اللوغاريتم فإننا نحتاج إلى إيجاد الأس 7 يعطى النتيجة 118 وهو أمر يصعب إيجاد دون الاستعانة بالآلة الحاسبة وذلك عبر إحدى خصائص تغيير الأساس وبالتالي عبر المعادلة التالية: لوب أ = لو10 أ/لو10 ب عبر الخطوات التالية: تغيير الأساس للعدد 10 وبالتالي يصبح اللوغاريتم 20 وذلك عبر المعادلة التالية: لو7 118 = لو10 7 / لو10 118 بإستخدام الآلة الحاسبة فإن قيمة اللوغاريتم يتم حسابها عبر المعادلة التالية: لو10 7/لو10 118 = 2.07/0.845 = 2.45. المثال السابع من خلال خصائص اللوغاريتم كيف يمكننا إيجاد الناتج للمعادلة اللوغاريتمية التالية: لو 6 (ن-3) + لو 6 (ن+2) = لو 3 3؟ الحل عن طريق الخطوات التالية: وفقاً لخصائص اللوغاريتمات السابقة، فإننا يمكن تفكيك المعادلة للنقاط التالية: لو3 3 = 1 لو 6 (ن-3) + لو 6 (ن+2) = لو6 (ن-3)(ن+2). وبالتالي فإن المعادلة تصبح كالتالي: لو6 (ن-3)(ن+2) = 1. ومن خلال تحويل المعادلة السابقة إلى المعادلة الأسية فإنه يتم الحل من خلال ما يلي: 6 1 = 6 = (ن-3)(ن+2). وبالتالي يتم ضرب القوسين ببعضهما البعض فإن الحل يتم: (ن-3)(ن+2) = ن2-ن-6 =6 وبالتالي فإن المعادلة تكون كالتالي: ن2-ن- 12 = 0 وبتحليل هذه المعادلة كالتالي ن2-ن- 12 = 0 = (ن-4)(ن+3) فإن ن يكون لها قيمتين وهما ن = 4 و ن = -3 ولأن اللوغاريتم سيكون سالباً فغن تعويض القيمة إلى ن = -3 تصبح عبر المعادلة اللوغاريتمية التالية: لو 6 (-6) + لو 6 (-1) = لو 3 3. هذه كانت أهم الأمثلة الدالّة على خصائص اللوغاريتمات الهامة التي تساعد على فك هذا السر وتلك الشفرة الرياضية الهامة التي تعتبر أساس من أسس المجالات الرياضية المتعددة.