نهاية مسدودة

الطرائق التكرارية لحل أنظمة المعادلات الخطية

Iterative Methods for Solving Linear Syst s الأنظمة الخطية التي تنشأ في الكثير من التطبيقات الهندسية والعلمية تكون مصفوفة معاملاتها عبارة عن مصفوفة هشة , أي المصفوفة التي تكون معظم عناصرها أصفاراً وذات سعة كبيرة .وإذا تم استخدام الطرائق المباشرة لحل هذة الأنظمة فسوف يتطلب ذلك جهد حسابي كبير ( وناتج معظمة أصفاراً), وتحتاج إلى سعة كبيرة ( غير ضرورية ) في ذاكرة الحاسوب والتي قد لايمكن توفرها . لهذا السبب فإن الكثير من الباحثين الذين تواجههم مثل هذه الأنظمة . تعد الطرائق التكرارية طرائق تقريبية أي أنها لا تحسب الحل مباشرة وإنما تبدأ من حل تقريبي وليكن x^0 ، وتحسب متتالية من المتجهات âˆ‍^ X^(k)] _(k 0] والتي يُتأمل أن تتقارب إلى الحل المضبوط x. ويمكن توضيح ذلك بالشكل التالي X^(0) →X^(1)→X^(2)→⋯X^(k)→⋯→X الفكرة الرئيسية لهذه الطرائق هي كتابة النظام الخطي Ax b , حيث أن A مصفوفة مربعة من النوع n×n بالشكل المساوي x Tx+C حيث أن T مصفوفة مربعة من النوع n×n و c متجه عمود ذو البعد n . بعد اختيار التقريب الابتدائي X^0 , نحسب متتالية المتجهات âˆ‍^ X^(k) ]_(k 0] باستخدام الصيغة التكرارية x^(k) Tx^(k-1 )+c من أجل k≥1 . تعتمد المصفوفة Tفي تكوينها على المصفوفة A أما المتجه فإن عناصره تستنتج من المصفوفة A والمتجه b . هناك عدة أساليب لكتابة المصفوفة T والمتجه c سوف ندرس أسلوبين وهما جاكوبي , جاوس – سيدل بداية نكتب النظام الخطي AX b بالشكل التالي

• a_11 x_1+a_12 x_2+⋯.+a_1n x_n b_1
• a_21 x_1+a_22 x_2+⋯.+a_2n x_n b_2

a_n1 x_1+a_n2 x_2+⋯.+a_nn x_n b_n

ونفرض أن i 1,2,…….,n a_ii≠0 (وإذا كان a_ii 0 لقيمة معينة من قيم i فيمكن تبديل المعادلات بصورة مناسبة ). من مجموعة المعادلات السابقة يمكننا أن نكتب العلاقات التالية التي تعطي قيم المتغيرات x_1 ,x_2,….,x_n بدلالة هذه القيم نفسها * [ x_1 -1/a_11 [a_12 x_2+⋯+a_1n x_n-b_1 * [x_2 -1/a_22 [a_21 x_1+a_23 x_3+⋯+a_2n x_n-b_2 * [x_n -1/a_nn [a_n1 x_1+a_n2 x_2+⋯+a_(n,n-1) x_(n-1)-b_n وللاختصار يمكن صياغة النظام السابق بالصورة التالية [x_i 1/a_ii [b_i-∑_(k 1)^n a_ik x^k a_ii≠0 , k≠i لكل i 1,2,….,n و k≥1 . وعادة فإننا نعيد ترتيب المعادلات والمتغيرات (المجاهيل ) بحيث نحقق قدر الاستطاعة شرط السيطرة القطرية (diagonal dominance) والذي يعني أن القيمة المطلقة لأي عنصر قطري a_ii تكون أكبر من – أو تساوي – مجموع القيم المطلقة للعناصر الأخرى في صفه (الصف رقم i ) ونعبر عن ذلك بالمتباينة a_ii ≥∑_â– (j 1@j≠i)^n[ a_ij ] i 1,2,…..n .......................................................................

طريقة جاكوبي التكرارية

في هذه الطريقة نبدأ بقيمة تقريبية أولية للمجاهيل ولتكن (x^(0) x_1^(0) ,x_2^(0),…..x_n^(0 ثم نعوض بهذه القيم في الطرف الأيمن في نظام المعادلات السابق بالصورة الأتية [(x_i^(k ) 1/a_ii [b_i-∑_â– (j 1@j≠i)^n[a_ij x_j^(k-1 لكل i 1,2,….,n و k≥1 . لنحصل على التقريب الأول للمجاهيل وهو (x^(1) x_1^(1) ,x_2^(1),…..x_n^(1 ثم نكرر العملية للحصول على التقريب الثاني (x^(2 ) x_1^(2) ,x_2^(2),…..x_n^(2 ولنصل إلى الدقة المطلوبة والتي تحقق المتباينات التالية x_i^(k)-x_i^(k-1) ‖
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا