تم النشر اليوم [dadate] | مبرهنة نويثر

المبدأ

نشرت مبرهنة نويثر في عام 1918 حيث بينت ان جميع قوانين الفيزياء تستند إلى مبدأ الفعل الأصغر Principle of least action، وقد سميت نسبة للرياضية إيمي نويثر، التي عاشت في بدايات القرن العشرين. مبرهنة نويثر تشكل علاقة في الميكانيكا بين أزواج المتغيرات المترافقة — إذا كان الفعل لامتباين نتيجة تغير في واحد أو أكثر من المتغيرات الفيزيائية فعندئذ تكون معادلات الحركة تنتج من الحفاظ على الفعل ثابتا محافظة مقابلة في قيمة باقي أزواج المتغيرات. هذه الأزواج المترافقة تلعب دورا أساسيا حرجا في النظرية الكمومية— فهم أزواج المتغيرات المرتبطة بمبدأ ارتياب هايزنبرغ (مثل الموضع والاندفاع (كمية الحركة) وأيضا الزمن والطاقة).

بيان غير رسمي للمبرهنة

إذا وضعنا جميع النقاط الفنية الدقيقة جانبًا، من الممكن عرض المبرهنة بشكل غير رسمي. إذا كان للنظام خاصية تناظر مستمر، فهناك كميات مقابلة يُحافظ على قيمها مع الزمن. تنص نسخة أكثر تطورًا من المبرهنة، والتي تنطوي على الحقول، على ما يلي: في مقابل كل تناظر تفاضلي ناتج عن أفعال موضعية، يكون هنالك تيار محفوظ. تشير كلمة «تناظر» في البيان أعلاه، بشكل أكثر دقة، إلى التغاير في الشكل الذي يتخذه القانون الفيزيائي فيما يتعلق بزمرة لاي أحادية البعد من التحولات، والتي تستوفي معايير تقنية معينة. عادة ما يُعبّر عن قانون الحفظ لكمية فيزيائية بمعادلة الاستمرارية.

خلفية وتوضيحات أساسية

كتوضيح، إذا كان النظام الفيزيائي يسلك بنفس الطريقة بصرف النظر عن اتجاهه في الفضاء، فإن اللاغرانجيان له يكون متناظرًا في ظل تناوب مستمر: من خلال هذا التناظر، تفرض مبرهنة نويثر أن الزخم الزاوي للنظام يكون محفوظًا نتيجة قوانين الحركة الخاصة بالنظام. لا يلزم أن يكون النظام المادي نفسه متناظرًا، فعلى سبيل المثال، الكويكب المتعرج في الفضاء يحافظ على الزخم الزاوي على الرغم من عدم تناظره. قوانين الحركة هي المتناظره. كمثال آخر، إذا أظهرت العملية الفيزيائية نفس النتائج بصرف النظر عن المكان أو الزمان، فإن اللاغرانجيان لها متناظر تحت الإزاحات المستمرة في المكان والزمان تباعًا. تعتبر مبهرنة نويثر مهمة، ليس فقط بسبب المعرفة التي تقدمها فيما يتعلق بقوانين الحفظ، ولكن أيضًا لإمكانية استخدامها كأداة حسابية عملية. تسمح المبرهنة للباحثين بتحديد الكميات المحفوظة (اللامتغيرات) من التناظرات الملحوظة للنظام الفيزيائي. وعلى النقيض من ذلك، فهي تسمح للباحثين بأخذ فئات كاملة مفترضة من اللاغرانجيان مع بعض اللامتغيرات المُعطاة من أجل وصف النظام الفيزيائي. كإيضاح، إن افترضنا اقتراح نظرية فيزيائية تحافظ على الكمية X. يمكن للباحث حساب أنواع اللاغرانجيان التي تحافظ على X من خلال تناظر مستمر. بفضل مبرهنة نويثر، توفر خصائص اللاغرانجيان معايير إضافية لفهم النتائج المترتبة، وأيضًا للحكم على مدى ملاءمة النظرية الجديدة.

شرح مبسط

مبرهنة نويثر تعتبر أهم مبرهنات ونتائج الفيزياء النظرية التي تظهر أن قانون الانحفاظ يمكن اشتقاقه من أي تناظر استمراري. فمثلا قوانين الفيزياء لا تتغير من لحظة إلى أخرى، مما يعني أن القوانين متناظرة (لامتباينة أو صامدة invariant) بالنسبة للزمن.