تم النشر اليوم [dadate] | قاعدة الرفع إلى أس

قاعدة القوة

تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}\!} هي f ′ ( x ) = n x n − 1 {\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}\!} , وبالتالي تكون القاعدة هي ( x n ) ′ = n x n − 1 . {\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}.} و قاعدة القوة للتكامل هي ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int \!x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة. البرهان لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية: f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.} و عند تعويض f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} ستكون المعادلة على النحو التالي f ′ ( x ) = lim h → 0 ( x + h ) n − x n h . {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}.} ثم يمكن للمرء التعبير عن ( x + h ) n {\displaystyle (x+h)^{n}} باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على f ′ ( x ) = lim h → 0 ∑ i = 0 n ( n i ) x i h n − i − x n h . {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}-x^{n}}{h}}.} يمكن كتابة الحد i = n {\displaystyle i=n} من المجموع في جهة مستقلة للحصول على f ′ ( x ) = lim h → 0 ∑ i = 0 n − 1 ( n i ) x i h n − i + x n − x n h . {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}+x^{n}-x^{n}}{h}}.} و بسبب إلغاء قيم الحدود x n {\displaystyle x^{n}} ستكون المعادلة f ′ ( x ) = lim h → 0 ∑ i = 0 n − 1 ( n i ) x i h n − i h . {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}}{h}}.} و يمكن إخراج قيمة h {\displaystyle h} من جميع الحدود من المجموع للحصول على f ′ ( x ) = lim h → 0 h ∑ i = 0 n − 1 ( n i ) x i h n − i − 1 h . {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}}{h}}.} و بذلك يمكننا إلغاء قيم h {\displaystyle h} من المقام والحصول على f ′ ( x ) = lim h → 0 ∑ i = 0 n − 1 ( n i ) x i h n − i − 1 . {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}.} و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن n − i − 1 > 0 {\displaystyle n-i-1>0} لكل i < n − 1 {\displaystyle iتفاضل متعددات الحدود الكيفية لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي (differential operator) للحصول على: ( ∑ r = 0 n a r x r ) ′ = ∑ r = 0 n ( a r x r ) ′ = ∑ r = 0 n a r ( x r ) ′ = ∑ r = 0 n r a r x r − 1 . {\displaystyle \left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}\left(a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left(x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}ra_{r}x^{r-1}.} و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي ∫ ( ∑ k = 0 n a k x k ) d x = ∑ k = 0 n a k x k + 1 k + 1 + c . {\displaystyle \int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.}

تعميم

يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي ( x a ) ′ = a x a − 1 {\displaystyle \left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}} عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع ∫ x − 1 d x = ln ⁡ x + c , {\displaystyle \int \!x^{-1}\,dx=\ln x+c,} سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.

شرح مبسط

في الرياضيات، تستعمل قاعدة الرفع إلى أس أو قاعدة القوة(بالإنجليزية: power rule)‏ للتفاضل وتستعمل لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأسفل.

2025-11-15 16:38:43

تعرف على - اتصل بى - قريب - عربى - نرمى - مصبغة - حراج - الدليل الصحى العربى - أخبار - مجلس - دليل الأطباء الكويتي - دليل الأطباء السعودي - دليل الأطباء الإماراتي - دليل الأطباء العماني - دليل الأطباء البحريني - دليل الأطباء القطري - دليل الأطباء الأردني - دليل الأطباء اللبناني - دليل الأطباء السوري - دليل الأطباء المصري - دليل الأطباء المنوع -