تم النشر اليوم [dadate] | عدد توافقي

خصائص الأعداد التوافقية

من خلال تعريها ، فإن الأعداد التوافقية تستوفي العلاقة H n + 1 = H n + 1 n + 1 {\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}} ترتبط الأعداد التوافقية بأعداد ستيرلنغ من النوع الأول من خلال العلاقة H n = 1 n ! [ n + 1 2 ] {\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right]} الدوال التالية f n ( x ) = x n n ! ( log ⁡ x − H n ) {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\log x-H_{n})} تستوفي الخاصية f n ′ ( x ) = f n − 1 ( x ) {\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x)} خاصه f 1 ( x ) = x ( log ⁡ x − 1 ) {\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)} هو تكامل دالة اللوغاريثم الطبيعي. الأعداد التوافقية تحقق متطابقات المتسلسلة ∑ k = 1 n H k = ( n + 1 ) H n − n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n} و ∑ k = 1 n H k 2 = ( n + 1 ) H n 2 − ( 2 n + 1 ) H n + 2 n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n} خصائص مرتبطة ب π هناك العديد من صيغ الجمع اللانهائية التي تتضمن الأعداد توافقية و π: ∑ n = 1 ∞ H n n ⋅ 2 n = 1 12 π 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}} ∑ n = 1 ∞ H n 2 ( n + 1 ) 2 = 11 360 π 4 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}} ∑ n = 1 ∞ H n 2 n 2 = 17 360 π 4 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}} ∑ n = 1 ∞ H n n 3 = 1 72 π 4 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}

الحساب

هناك تمثيل تكاملي قدمه أويلر هو H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx} الصيغة أعلاه يمكن إشتقاقها من خلال المطابقة الجبرية البسيطة 1 − x n 1 − x = 1 + x + ⋯ + x n − 1 {\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}} باستخدام التعويض x = 1 − u ، هناك تعبير آخر لـ Hn هو H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x = ∫ 0 1 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 [ − ∑ k = 1 n ( − 1 ) k ( n k ) u k − 1 ] d u = − ∑ k = 1 n ( − 1 ) k ( n k ) ∫ 0 1 u k − 1 d u = − ∑ k = 1 n ( − 1 ) k 1 k ( n k ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}

شرح مبسط

في الرياضيات ، العدد التوافقي النوني هو مجموع مقلوبات أول n من الأعداد الطبيعية: H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} بدءًا من n = 1 ، يبدأ تسلسل الأعداد التوافقية: 1 , 3 2 , 11 6 , 25 12 , 137 60 , … {\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots } ترتبط الأعداد التوافقية بالمتوسط التوافقي في أن العدد التوافقي النوني هو أيضًا n مضروبة في مقلوب المتوسط التوافقي للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n .
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا