إثبات خاطئ

1 = 2

مفارقة

كذلك، وهذه بالطبع نتيجة غير منطقية، وذلك لأنه في الخطوة الخامسة قُسم الطرفين على (س-ص)، وهذا المقدار يساوي الصفر (لأن س=ص)، فإن ذلك يعتبر خطأً، لأن القسمة على الصفر هي عملية غير مُعرفة.

انظر كذلك

بتعميم هذه الطريقة يمكن أيضا اثبات أن

• 1 + 1 + 1 +... 1 = 1
• طالما وصلنا للصيغة:
• x = x... + x + x + x

ومن جهة أخرى، بالتأكيد فالخطأ الذي يقع فيه الجميع هو عند السماح بالقسمة على x مع أنه لا يجوز رياضيا القسمة على 0 وبشكل خاص عندما يكون كل من البسط والمقام أصفارا لأن النتيجة تصبح غير معرفة. كما أنه لا يمكن تحويل العبارة 0=0+0 إلى x+x=x.

والان لتكن x = π. حينئذ

ومن ناحية أخرى، يقع الخطأ هنا في السطر الأخير من الاثبات، حيث أهملنا الجذور الرباعية الأخيرة لـ1، وهي −1, iو− i (حيث أن i هي الوحدة التخيلية).

هـ.ط.ث.

اثبات أن الجذر التربيعي لـ 1 = -1

وفي السياق ذاته، الخطأ في هذا الاثبات يقع في الحقيقة أن القاعدة المنصوص عليها صحيحة فقط لعدد موجب a لا يساوي 1.

• بالغاء الإجابة الخاطئة 1 يتبقى لدينا الإجابة الصحيحة −1 = −1.
• اثبات أنx = y لأي أعداد حقيقية x وy
• إذا كان ab = ac'، فإن b = c. لذلك، بما أن1x = 1y، يمكننا استنباط أن x = y.
• هـ.ط.ث.

وفي هذا السياق، في هذا البرهان، بدأت المغالطة في الخطوة الثالثة، حيث تم تطبيق القاعدة (ab)c = abc دون التأكد من أن a موجبة القيمة. كذلك، في الخطوة الرابعة، لم يتم الكشف عن جميع الجذور الممكنة . مع أن 1 يعتبر جذرا، −1 هو جذر كذلك.

هـ.ط.ث.

برفع طرفي المعادلة للقوة 3/2 نحصل على

.

1+1+1+... =1

وعلى صعيد آخر، هنا كذلك خدعة شائعة تستعمل لإثبات أن حاصل جمع أي عدد من الواحدات ينتج عنه الرقم 1 كذلك:

لو وضعنا:

نسخة 2

إضافةً إلى ذلك، كذلك يقتضى أنه إذا كان الجذر التربيعي في بداية مسألة تكون الإجابة الموجبة هي الوحيدة المطلوبة، ولذلك إذا

بدأنا بـ1=1 ثم البناء حتى سنصل في النهاية إلى 1= ± 1

وفي هذا السياق، تكون القاعدة عموما مشروعة فقط إذا كان أحد الأعداد x أو y على الأقل موجبا، وهذه ليست الحال هنا. بطريقة أخرى يمكن للمرء النظر للجذر التربيعي على أنه دالة ثنائية القيمة في الأعداد المركبة وفي هذه الحال يقدر طرفا المعادلة السابقة بـ{1, −1}.

علاوةً على ذلك، بواسطة التلاعب بالأساسات، يمكن اشتقاق البراهين الخاطئة التالية:

وفي السياق ذاته، تقنيا نستخلص أن تعويض ± 1 = ± 1 فيما سبق يصل بنا إلى النتيجة الخاطئة 1 = 1, 1 = -1, -1 = 1, -1 = -1

هـ.ط.ث.

0 + 0 = 0

• ثم عوضنا عن x = 0 في المعادلة السابقة لتصبح:
• x = x + x
• وبقسمة الطرفين على x نحصل على
• 1 + 1 = 1

4.بتحليل الطرفين

• (س+ص) (س–ص) = ص (س–ص)
• 5.بقسمة الطرفين على (س–ص)
• (س+ص)= ص
• 6.وبما أن س = ص ←
• (ص+ص) = ص ←
• 2ص = ص ←
• بقسمة الطرفين على ص ←

بالاستعانة بالمتطابقة المثلثية

.

بضرب الطرفين × نحصل على

من جانب آخر، يكون هذا صحيحا فقط عندما تكون قيم x و y أعداد حقيقية موجبة وهذا مالم يتم اقتضاؤه سابقا. على هذا الأساس فالبرهان خاطئ

• إن تربيع أي جذر تربيعي يعطي الرقم الأصلي وعليه
• و هو المطلوب إثباته (هـ.ط.ث. Q.E.D.)
• بالطبع الاثبات غير مشروع لأنه تم تطبيق قاعدة الجذر التربيعي بطريقة خاطئة.

نسخة 3

هـ.ط.ث.

علاوةً على ذلك، بالعبور إلى ومن الأعداد الحقيقية للأعداد المركبة يمكن اشتقاق الاثبات الغير مشروع كما يلي:

نسخة 4

وفي هذا السياق، المعادلة abc = (ab)c لأي عددين حقيقيين b وc عمومامشروعة فقط عندما يكون a موجبا، وهذه الحالة ليست هنا.

1=2

وعلى صعيد آخر، إثبات أن 1=2 هو نوع من الإثباتات الخاطئة في الرياضيات، وهي الإثباتات التي تصل إلى نتيجة غير منطقية رغم استخدامها القوانين الرياضية.

• 1.لنأخذ المقدار
• س = ص
• 2.بضرب الطرفين في س
• س² =س ص
• 3.بطرح ص² من الطرفين
• س² – ص²=س ص – ص²