استقلال خطي

البرهان

لنفرض أنّ هما عددان حقيقيان يحقّقان:

في هذا الإطار، ويكون الحل الوحيد للمعادلتين هو: ، أي أنّ هذا الحل هو الحل الوحيد. فالاستنتاج هو أنّ المتجهين مستقلان خطيًا.

إضافةً إلى ذلك، المعادلة أعلاه هي عبارة عن كتابة مختصرة لمعادلتين خطّيتين بمجهولين، والتي من الممكن الحصول عليها إذا أخذنا معادلة كل إحداثي على حدة:

مثال 4

المتجهات الثلاثة التالية، التابعة لـ، هي تابعة خطيًا:

البرهان

وعلى صعيد آخر، المساواة بين الطرفين لكل قيمة t ممكنة فقط إذا كان b = 0، أي أنّ a = 0 كذلك.

لنفرض عددين حقيقيّن، a وb يحققّان:

.

، لكل قيمة t.

وفي السياق ذاته، لبرهان استقلالية الدالتين، يجب أن نثبت أنّ a = 0 وكذلك b = 0. لذلك، نقسم طرفي المعادلة على e^t (هذا ممكن لأنّ القيمة e^t موجبة دائمًا)، فنحصل على:

البرهان

• لنفرض n أعداد حقيقيّة، ، تحقّق:
• ولكن:
• أي أنّ لكل i يحقّق .

مثال 1

علاوةً على ذلك، المتجهان (1 ,1) و (2 ,3-) في الفضاء الشعاعي R2 هما متجهان مستقلان خطيًا.

برهان آخر بواسطة المحددات

من جانب آخر، بما أنّ محدد المصفوفة ليس صفرًا، هذا يعني أنّ هنالك حلّ وحيد لهيئة المعادلات. ولكن، بما أنّ الحل التافه يحل هيئة المعادلات، معنى الأمر أنّه الحل الوحيد. أي أنّ المتجهين الأصليين مستقلان خطيًا.

• في المثال أعلاه، تكون المصفوفة هي التالية:
• المطلوب إيجاد متجه غير متّجه الصفر، والمكوّن من ، والذي يحقّق:
• قيمة المحدّد للمصفوفة M تدلّنا على عدد الحلول الموجود للمعادلة. في هذه الحالة:

وفي هذا الصدد، طريقة أخرى للبرهان تعتمد على حقيقة كون n متجهات في Rn تابعة خطيًا إذا وفقط إذا كانت المحدّدة التي تتكون عند ترتيب المتجهات كأعمدة في مصفوفة تساوي صفرًا.

تعريف

من جهة ثانية، في حال عدم وجود مثل هذه الأعداد، تدعى المجموعة S مجموعة متجهات مستقلّة خطيًا. بالإمكان نص تعريفًا مكافئًا كالتالي: لمجموعة متجهات مستقلة خطيًا، إذا وجدت مجموعة أعداد تحقّق:

وفي هذا الصدد، تدعى المجموعة الجزئية في الفضاء المتجهي تابعة خطيًا (أو غير مستقلّة) إذا وجدت n أعداد لا تساوي جميعها صفرًا تحقّق:

من جهة ثانية، وتسمّى مجموعة متّجهات مستقلة خطيًا أساسًا خطيًا إذا ما كانت تستطيع وحدها أن تولّد فضاء شعاعي معيّن. مثلًا، فإنّ للفضاء الشعاعي المتمثل بكثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية أساسًا خطيًا لا نهائيًا وهو .

علاوةً على ذلك، فإنّ الحل الوحيد هو الحل التافه، أي لكل . إذًا، تكون مجموعة متجهات مستقلّة خطيًا إذا ما كان التمثيل الوحيد لمتجه الصفر كتركيبة خطية من المتجهات في المجموعة هو التمثيل التافه.

ومن جهة أخرى، بحيث أنّ الصفر في الجهة اليمنى هو متجه الصفر وليس العدد صفر.

مثال 3

وفي هذا الصدد، ليكن V فضاء المتجهات الذي يحوي جميع الدوال بمتغير حقيقي، t. إنّ الدالتين و هما دالتان أو متجهان مستقلان خطيًا.

مثال 2

من جانب آخر، ليكن V هو الفضاء المتجهي ذو n الأبعاد، . مجموعة المتجهات التالية في V هي مجموعة متجهات مستقلّة خطيًا:

تابع خطي لدوال

• مجموعة الدوال تسمى تابعة خطيًا (أو غير مستقلّة) في
• إذا وجدت n أعداد لا تساوي جميعها صفرًا تحقّق:
• في حال عدم وجود مثل هذه الأعداد، تدعى مجموعة الدوال S مجموعة مستقلّة خطيًا.

مفهوم هندسي

علاوةً على ذلك، في المثال أعلاه، فإنّ «3 كيلومترات إلى الشمال» و«4 كيلومترات شرقًا» هي معلومات غير مرتبطة، أي مستقلّة، فلا يمكن أن يكتب الأول بواسطة الثاني، والعكس صحيح. أمّا المعلومة الأخيرة «5 كيلومترات باتجاه شمال-شرق» ما هي إلاّ تركيبة خطية من المتجهين الأوّلين، وتكون مجموعة ثلاث المتجهات تابعة خطيًا، أي أنّه بالإمكان الاستغناء عن إحداها (أيّ منها) لوصف الموقع.

أمثلة

من جانب آخر، وبشكل عام، فنحتاج إلى مجموعة متجهات مستقلة لوصف أي موقع في فضاء ذي أبعاد.

كذلك، قد نصف موقع مكان ما بقولنا «إنّه يقع على بعد 3 كيلومترات شمالاً و4 كيلومترات شرقًا». وتكون هذه المعلومات كافية بغرض تحديد الموقع بالضبط، لأنّه بالإمكان تحديد الموقع في المستوى (إذا تغاضينا عن الارتفاع) بواسطة متجه ثنائي البعد. بالإمكان الإضافة بإنّه «يقع على بعد 5 كيلومترات باتجاه شمال-شرق»، ولكن بالرغم من كون هذا الادعاء صحيحًا (حسب قانون فيتاغورس)، فإنّه لا يضيف أية معلومات!

البرهان

• لنفرض ثلاثة أعداد، تحقّق:
• هذا يعني تحقيق هيئة المعادلات التالية:
• إذا قمنا بحل الهيئة، بحسب طريقة غاوس مثلاً، نخلص إلى أنّ:

إضافةً إلى ذلك، بما معناه أنّه بالإمكان اختيار قيمة بشكل عشوائي، وإيجاد القيم المناسبة لـ و. معنى الأمر أنّه هنالك عدد لا نهائي من الحلول - أي أنّ هنالك حلولاً غير صفرية لهيئة المعادلات، والمتجهات الثلاث تابعة خطيًا.