امتداد الحقول

على سبيل التعريف، في الجبر التجريدي، امتدادات الحقول هي الموضوع الأساسي في نظرية الحقول. الفكرة العامة وراء ذلك هي الابتداء بحقل معين ما، ثم إنشاء حقل آخر أوسع منه، يحتوي على الحقل الأصلي ويحقق خصائص إضافية. مثلًا، Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} هو أصغر امتداد لمجموعة الأعداد الجذرية Q، والذي يحتوي على جميع الحلول الحقيقية للمعادلة x2 = 2. ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.

وفي هذا السياق، امتدادات الحقول أساسية في نظرية الأعداد الجبرية وفي دراسة أصفار الدوال الحدودية من خلال نظرية غالوا.تُستعملن بشكل واسع في الهندسة الجبرية.

وفي هذا الصدد، ليكن L حقلا. حقل جزئي من L هو مجموعة جزئية K من L، تحقق شرط الانغلاق

ما الحقل الجزئي ؟

ومن ناحية أخرى، حقل جزئي من حقل L هو مجموعة جزئية K من L، تشكل هي الأخرى حقلا نظرا إلى العمليتين اللتان تعرفان الحقل الكلي L. بشكل مكافئ، حقل جزئي هو مجموعة جزئية تحتوي على الواحد ومنغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة، وتقبل عنصرا معاكسا لكل عنصر مختلف عن الصفر من K.