بحث اثناني

البحث بالتقدير

في هذا الإطار، يمكن إنجاز البحث الخطي بالبحث بالتقدير. إذا كانت مصفوفة حدها الأعلى هو وحدها الأدنى ، وكانت القيمة المُستهدفة هي ، فبالإمكان تقدير موقع الهدف حسب العلاقة: وهي حتماً قيمة تقع بين و. إذا وزعت عناصر المصفوفة عند استخدام البحث الخطي توزيعًا منتظمًا أو شبه منتظم، فإن البحث البحث بالتقدير يحتاج إلى مقارنة.

في هذا الإطار، يُقدِّر البحث موضع القيمة المستهدفة بالتخمين بدلاً من حساب نقطة المنتصف، مع مراعاة العنصرين الموجودين في الموقعين الأدنى والأعلى في المصفوفة إلى جانب عدد العناصر فيها. يعمل البحث بالتقدير اعتماداً فكرة أن نقطة المنتصف ليست التخمين الأمثل في كثير من الحالات. مثلًا، إذا كانت القيمة المستهدفة قريبة من قيمة العنصر ذي الفهرس الأعلى في المصفوفة، فمن المحتمل أن تكون موجودة بالقرب من نهاية المصفوفة.

علاوةً على ذلك، يكون البحث بالتقدير أبطأ عملياً من البحث الاثناني في المصفوفات الصغيرة، لأنه يتطلب إجراء حسابات إضافية. ينمو تعقيد الوقت في البحث بالتقدير بشكل أبطأ من نموه البحث الاثناني، ولكنه لا يكفي ليعوض الزمن اللازم لإجراء الحسابات الإضافية ما لم تكن المصفوفة كثيرة العناصر.

التعامل مع العناصر المكررة

وفي هذا السياق، قد تُرجِع الإجرائية مرتبة أي عنصر تكون قيمته مساويةً للقيمة المستهدفة، حتى ولو كان هناك عناصر مُكرَرة في المصفوفة. مثلًا، إذا كانت المصفوفة التي يُراد البحث فيها هي: وكانت القيمة المستهدفة هي ، فإن الخوارزمية سُترجع العنصر الرابع، أي الذي تكون قيمة مرتبته 3، والخامس، أي الذي تكون قيمة مرتبته 4. ستعيد إجرائية الرئيسة العنصر الرابع فقط في هذه الحالة. في بعض الأحيان، يكون من الضروري العثور على موقع العنصر الموجود في أقصى اليسار أو العنصر الموجود في أقصى اليمين ضمن مجموعة العناصر المكررة في المصفوفة. في المثال أعلاه، ومن أجل العناصر المكررة التي تكون قيمتها 4، فإنَّ العنصر الرابع هو العنصر الموجود في أقصى اليسار، في حين أن العنصر الخامس هو العنصر الموجود في أقصى اليمين. في الإجرائية البديلة، إذا وجدت مجموعة من العناصر المكررة، فإن مرتبة العنصر الموجود في أقصى اليمين سيعاد دائماً.

وقت التشغيل واستخدام ذاكرة التخزين المؤقت

في هذا الإطار، يُدرس الوقت المطلوب لمقارنة عنصرين عند تحليل أداء البحث الاثناني كذلك. في ما يخص الأعداد الصحيحة والسلاسل المحرفية، يزداد الوقت المطلوب خطياً مع زيادة طول ترميز العناصر، والذي يقاس عادةً بعدد البتات، مثلًا، تتطلب مقارنة زوج من الأعداد الصحيحة دونَ إشارة التي يبلغ طولها 64 بتاً ضعف الوقت المطلوب لمقارنة زوج من الأعداد الصحيحة دونَ إشارة التي يبلغ طولها 32 بتاً. تحصل الحالة الأكثر سوءاً عندما يكون العددان الصحيحان اللذان تجري مقارنتهما متساويا القيمة. يكون لما سبق تأثير واضح عندما تكون أطوال ترميز العناصر كبيرة، مثل الأنواع الصحيحة الكبيرة أو السلاسل المحرفية الكبيرة، مما يجعل مقارنة العناصر مرتفعة الكلفة الزمنية. علاوة على ذلك، فعند مقارنة القيم التي تحتوي فاصلة متحركة، وهو التمثيل الرقمي الأكثر شيوعاً للأعداد الحقيقية، فإنَّ الكلفة الزمنية للمقارنة غالباً ما تكون أعلى من نظيرتها للأعداد الصحيحة أو السلاسل المحرفية القصيرة.

إضافةً إلى ذلك، يحتوي المعالج في أغلب بنى الحاسوب ذاكرة تخزين مخبئية مُنفصلةً عن ذاكرة الوصول العشوائي. نظراً لوجود ذاكرة التخزين المخبئية داخل المعالج، فإنَّ الوصول إليها يكون سريعاً، ولكن حجمها يكون أصغر بكثير مقارنة بذاكرة الوصول العشوائي. لذلك، تُخزِّن أغلب المعالجات مواقع الذاكرة التي وُصِل إليها مؤخراً، إلى جانب مواقع الذاكرة القريبة منها. مثلًا، عند الوصول إلى عنصر ما في مصفوفة، قد يُخزَّن العنصر نفسه في الذاكرة المخبئية إلى جانب العناصر المُخزنة بالقرب منه في ذاكرة الوصول العشوائي، مما يُسرِّع الوصول التتابعي إلى عناصر المصفوفة القريبة من ذلك الفهرس، وذلك بسبب محلية الإرجاع. في مصفوفة مرتبة، يمكن أن يقفز البحث الاثناني إلى مواقع الذاكرة البعيدة إذا كانت المصفوفة كبيرة، على عكس خوارزميات أخرى (مثل البحث الخطي والاستكشاف الخطي في جداول التلبيد) التي تصل إلى العناصر بالتسلسل. يضيف هذا قليلاً إلى وقت تشغيل البحث الاثناني عند استعمال البحث مع المصفوفات الكبيرة في أغلب الأنظمة.

الإجرائية الرئيسة

من جهة ثانية، إذا كانت مصفوفةً تحتوي على عنصر أو سجل هي: مرتبة بالشكل التالي: ، وإذا كانت القيمة المُستهدَفة هي ، فبالإمكان العثور على مرتبة القيمة المستهدفة في المصفوفة ، أي إنجاز بحثٍ اثناني، باستعمل الخوارزمية التالية:

كذلك، تتبع هذه الإجرائية التكرارية حدود البحث باستخدام المتغيرين و اللّذين يُمثِّلان دائماً الحدين الأسفل والأعلى على الترتيب لجزء المصفوفة الذي تُطبَّق خوارزمية البحث الاثناني عليه. يمكن كذلك التعبير عن الخوارزمية السابقة بشبه الرماز التالي، وفيه تبقى أسماء المتغيرات وأنواعها كما هي أعلاه، ويُمثِّل floor دالة أرضية، وتشير الكلمة unsuccessful إلى قيمة رقمية محددة تُعبِّر عن إخفاق البحث.

• function binary_search(A, n, T) is
• L := 0
• R := n − 1

الإجرائيات

من جهة ثانية، يعمل البحث الاثناني على المصفوفات المرتبة بهدف إيجاد موقع قيمة ما تُسمَّى القيمة المُستهدَفة أو القيمة الهدف. تبدأ العملية بمقارنة قيمة العنصر الموجود في منتصف المصفوفة بالقيمة المُستهدَفة، فإذا كانت هذه القيمة مُطابِقة لقيمة لعنصر، تُرجَع مرتبة العنصر في المصفوفة، وينتهي البحث. أَمَّا إذا كانت القيمة المُستهدَفة أقل من قيمة العنصر، فإن البحث سيستمر في النصف السفلي من المصفوفة. وأَمَّا إذا كانت القيمة المُستهدَفة أَصغر من قيمة العنصر، فإن البحث سيستمر في النصف العلوي من المصفوفة. يُحدد العنصر الموجود في منتصف نصف المصفوفة، وتعاد العملية السابقة حتى الوصول إلى القيمة المُستهدَفة أو انتهاء البحث دونَ ذلك، ويُقال عندها أن البحث غير ناجح أو أنه أخفق في إيجاد القيمة المستهدَفة في المصفوفة. تستبعد الخوارزمية في كل تكرار النصف الذي لا يُمكِن أن توجد فيه القيمة المُستهدَفة.

البحث الاثناني الكمي

ومن جهة أخرى، يتطلب إجراء أي بحث اثناني كمي دقيق، أي إجراء يعيد نتيجة صحيحة دائماً، تنفيذ استعلام على الأقل في الحالات الأكثر سوءاً، حيث هو اللغارتم الطبيعي. ثمة إجراء لبحث اثناني كمي دقيق يُنفِّذ استعلاماً في أسوأ الحالات. لغرض المقارنة، فإنَّ خوارزمية غروفر، وهي الخوارزمية الكمية المثلى للبحث في قائمة غير مرتبة من العناصر، تتطلب استعلاماً.

كذلك، تُحدُّ أجهزة الحاسوب التقليدية بالحالة الأكثر سوءاً التي تُنفِّذ تكراراً عند إجراء البحث الاثناني. لا تزال خوارزميات البحث الاثناني الكَميّ محدودة بالنسبة من أجل الاستعلامات، وه تمثل عدد التكرارات في الإجراء التقليدي، ولكن العامل الثابت ذو قيمة أقل من واحد، ما يؤمِّن تعقيداً زمنياً أقل في أجهزة الحواسيب الكمية.

إجرائية بديلة

من جانب آخر، ينجح البحث في الإجرائية الرئيسة إذا كانت قيمة العنصر المتوسط تساوي القيمة المُستهدَفة في كل تكرار. تتخلى بعض تنفيذات الخوارزمية عن إجراء هذا الفحص أثناء كل تكرار، ولا تنفّذه إلا عند بقاء عنصر واحد فقط، أي عندما يكون . ينتج عن هذا التغيير حلقة مقارنة أسرع بسبب استبعاد إجراء عملية المقارنة مرةً واحدةً عند كل تكرار. ولكن هذه الطريقة تتطلب إجراء تكرارٍ إضافي واحد في المتوسط.

• يمكن كذلك التعبير عن الخوارزمية السابقة بشبه الرماز التالي:
• function binary_search_alternative(A, n, T) is
• L := 0
• R := n − 1

ومن ناحية أخرى، نشر هيرمان بوتينبروش أول تنفيذ للخوارزمية يتخلى عن إجرائية فحص المساواة بالشكل السابق في عام 1962م.

return unsuccessful

وفي السياق ذاته، يمكن كذلك أن تُستبدل الدالة السقفية ceil بالدالة الأرضية المستعملة على القيمة . ولكن هذا قد يؤدي إلى إعطاء نتيجة مُغايرة إذا وجدت القيمة المُستهدَفة أكثر من مرة في المصفوفة.

الدعم في المكتبات المعيارية

من جهة ثانية، توفر كوبول فعل SEARCH ALL لإجراء عمليات بحث اثناني على جداول كوبول المرتبة.

وفي هذا الصدد، تحتوي حزمة مكتبة غو القياسية للفرز على دوال البحث Search ، SearchInts ، SearchFloat64s، وSearchStrings، التي تُنفِّذ البحث الاثناني العام، وكذلك تطبيقات محددة للبحث في شرائح الأعداد الصحيحة وأرقام الفاصلة العشرية والسلاسل على التوالي.

في هذا الإطار، بالنسبة إلى سي-الكائنية، يوفر إطار العمل المُسمَّى NSArray -indexOfObject:inSortedRange:options:usingComparator: دالةً عضو في ماك أو إس إكس 10.6+. يحتوي إطار عمل آبل فونديشين سي الأساسي كذلك على دالة CFArrayBSearchValues.

كذلك، توفِّر مكتبة لغة دي القياسية المُسمَّاة فوبوس، في الوحدة std.range نوع SortedRange (وهو يُرجع بواسطة الدوال sort وassumeSorted)، بالإضافة للدوال الأعضاء contains وequaleRange وequaleRange وlowerBound وtrisect، التي تستعمل كذلك تقنيات البحث الاثناني افتراضياً مع النطاقات التي توفر وصولاً عشوائياً.

من جانب آخر، تتضمن المكتبات المعيارية للعديد من لغات البرمجة إجرائيات بحث اثنانية، منها مثلًا:

وفي السياق ذاته، تقدِّم جافا مجموعة من الدوال الأعضاء التي تحمِّل الدالة binarySearch الثابتة بشكل زائد في أصناف و في حزمة java.util القياسية لإجراء عمليات البحث الاثناني على مصفوفات جافا وعلى القوائم List، على التوالي.

• توفِّر بايثون وحدة bisect.
• يتضمن صنف المصفوفة في روبي دالة عضو اسمها bsearch تشمل على تطابق تقريبي.
• الهوامش
• ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية
• انظر كذلك
• المراجع
• فهرس الإحالات
• المنشورات
• بالعربية
• بالإنجليزية
• الوب
• بالإنجليزية
• ثبت المراجع
• المقالات المُحكَّمة
• الكتب
• بالعربية

إضافةً إلى ذلك، توفر مكتبة النماذج القياسية في سي++ الدوال binary_search وlower_bound و upper_bound وequal_range.

ومن ناحية أخرى، تقدِّم مايكروسوفت دوت نت فريموورك إصدارات عامة ثابتة من خوارزمية البحث الاثناني في الأصناف الأساسية في مجموعتها. مثال على ذلك هو الدالة العضو System.Array BinarySearch(T[] array, T value).

من جهة ثانية، توفِّر لغة سي الدالة bsearch في مكتبتها المعيارية، وهي دالة تُنفَّذ اعتماداً على البحث الاثناني، مع أن المعيار الرسمي لا يتطلَّب ذلك.

خوارزميات تعيين العضوية

وفي هذا السياق، خوارزميات تعيين العضوية مرتبطة بعملية البحث، ويمكن استخدام أي خوارزمية بحث، مثل البحث الاثناني، من أجل تعيين العضوية كذلك. ثمة خوارزميات أخرى أكثر ملاءمة للعضوية المُحدَّدة، فمصفوفة البت مثلاً هي الأبسط والأكثر إفادة عندما يكون نطاق المفاتيح محدوداً، وهي تُخزِّن مجموعة من البتات المضغوطة التي يُمثِّل كل منها مفتاحاً واحداً في نطاق المفاتيح. هذه المصفوفات سريعة للغاية كذلك، وتتطلب زمناً هو فقط. يعالج النوع الأول من مصفوفة جودي مفاتيح بطول 64 بت بكفاءة.

وفي هذا الصدد، تُخزِّن مرشحات بلوم، وهي بنية بيانات احتمالية أخرى تستند إلى التلبيد مجموعة من المفاتيح عن طريق ترميزها باستخدام مصفوفة بت ودوال تلبيد متعددة للحصول على نتائج تقريبية. مُرشِّحات بلوم أكثر فعالية بالنسبة لمساحة التخزين مقارنة مع مصفوفات البت في أغلب الحالات وليست أبطأ منها بكثير: حيث يستغرق إنجاز دالة تجزئة من أجل استعلامات العضوية زمناً هو فقط. ولكن مُرشِّحات بلوم تعاني من الأخطاء الإيجابية.

R := n

• while L < R:
• m := floor((L + R) / 2)
• if A[m] > T:

عمليات البحث الناجحة

ومن ناحية أخرى، من أجل عدد صحيح ما ، فإن هذه العلاقة تكافئ تلك المُستعملة لحساب الحالة المتوسطة في بحث ناجح.

إضافةً إلى ذلك، يمكن عرض بحث اثناني ناجح في شجرة اثنانية على شكل مسار يبدأ من الجذر وينتهي عند العقدة المستهدَفة، ويُمثَّل البحث عندها بالمسار الداخلي نحو ذلك العنصر، ويكون طوله مساوياً لعدد الوصلات التي يمر بها المسار. أما طول المسار الداخل في المصفوفة فهو مجموع أطوال جميع المسارات الداخلية نحو العناصر الفريدة. أمَّا فيما يخص عدد التكرارات التي ينجزها بحث ما، فإذا كان طول المسار الداخلي لعنصر ما هو وصلة، فإن عدد التكرارات المنجزة لبلوغه يكون وشاملاً التكرار الأول. إذا كان هناك عنصراً، وهو عدد صحيح موجب، وكان طول المسارات الداخلية هو ، فإن متوسط عدد التكرارات لعملية بحث ناجحة هو ، وقد أضيف واحد لجعل العلاقة تشمل التكرار الأول.

ويمكن كذلك تبسيط طول المسارات الداخلية كذلك وفق ما يأتي:

وفي هذا الصدد، مثلًا، في مصفوفة مكونة من سبعة عناصر، يتطلب البحث عن الجذر تكراراً واحداً فقط، ويتطلب البحث عن العنصرين الموجودين أسفل الجذر تكرارين لكل منها، ويتطلب البحث عن العناصر الأربعة الواقعة في المستوى الأعمق ثلاثة تكرارات لكل منها. وفي هذه الحالة، يكون طول المسار الداخلي في المصفوفة:

ومن ناحية أخرى، بما أن خوارزمية البحث الاثناني هي الخوارزمية المثلى لعمليات البحث مع مقارنة، فإن بالإمكان اختزال هذه المسالة لحساب الطول الأصغر للمسار الداخلي في الأشجار الاثنانية التي تضم عقدة، أي إلى ، وهو يُحسب باستعمال العلاقة:

من جهة ثانية، وإذا عُوِّضت القيمة السابقة لطول المسارات الداخلية في معادلة حساب متوسط عدد التكرارات لعملية بحث ناجحة، أي ، فإنها تؤول إلى الشكل التالي:

ومن جهة أخرى، أمَّا متوسط عدد التكرارات فيمكن أن يحسب وفق معادلة الحالة المتوسطة وتكون قيمته: .

عمليات البحث غير الناجحة

علاوةً على ذلك، وبنفس الطريقة المتبعة مع عمليات البحث الناجحة، يمكن اختزال هذه المسألة لتحديد الطول الأدنى للمسار الخارجي لجميع الأشجار الاثنانية من أجل عقدة وهو يساوي طول المسار الداخلي مضافاً له . وبتعويض ذلك في المعادلة المستعملة لحساب طول المسارات الداخلية تنتج المعادلة التالية لحساب طول المسار الخارجي:

كذلك، قُسِّم طول المسار الخارجي على بدلًا من لأن هناك مساراً خارجياً، يمثل الفواصل بين عناصر المصفوفة نفسهم وبين عناصر المصفوفة والعناصر الخارجية.

ومن ناحية أخرى، يمكن تمثيل عمليات البحث غير الناجحة من خلال توسيع الشجرة عن طريق إضافة عقد خارجية إليها، لتنتج شجرة اثنانية مُوسَّعة. إذا كان لدى عقدة داخلية ما، أي لدى عقدة موجودة في الشجرة، أقل من عقدتين فرعيتين، فتضاف عقدٌ فرعيةٌ خارجيةٌ لها، بحيث يكون لكل عقدة داخلية ابنان اثنان. فيما بعد، يمكن تمثيل البحث الاثناني غير الناجح على شكل مسار إلى عقدة خارجية، يكون والدها هو العنصر الوحيد الذي بقي في أثناء التكرار الأخير.

وعلى صعيد آخر، بتعويض القيمة الناتجة لطول المسار الخارجي في معادلة حساب متوسط عدد التكرارات لعملية بحث غير ناجح ، يمكن الحصول على المعادلة التالية:

ومن ناحية أخرى، إذا وُجِد عنصر في المصفوفة، وهو عدد صحيح موجب، وإذا كان طول المسار الخارجي هو ، فإنَّ متوسط عدد التكرارات لعملية بحث غير ناجح يحسب بالعلاقة التالية:

وعلى صعيد آخر، يُعرَّف المسار الخارجي بأنه مسارٌ يبدأ من الجذر وينتهي في عقدة خارجية، وطول المسار الخارجي نحو عنصر ما بأنه عدد الوصلات فيه، وطول المسار الخارجي هو مجموع أطوال المسارات الخارجية نحو عناصر المصفوفة جميعها.

البحث الأسي

من جهة ثانية، يوسِّع البحثُ الأسي البحثَ الاثناني ليشمل القوائم غير المحدودة. يبدأ البحث الأسي بالعثور على أول عنصر يكون مُؤَشِّره من مضاعفات العدد 2 وأكبر من القيمة المستهدفة. فيما بعد، يُضبط هذا الفهرس ليكون حداً أعلى، ثمَّ يُطبَّق البحث الاثناني. يستغرق البحث تكراراً قبل بدء البحث الاثناني و تكراراً على الأكثر بعد بدء البحث الاثناني، حيث هو فهرس القيمة المستهدفة. يعمل البحث الأسي على القوائم المقيدة كذلك، ولكنه يصبح تحسيناً للبحث الاثناني فقط في الحالة التي تكون فيها القيمة المستهدفة قريبة من بداية المصفوفة.

إجرائية لإرجاع العنصر الموجود في أقصى اليسار

وفي هذا الصدد، إذا كانت المتراجحة والشرط مُحققان، فإن هو العنصر الموجود في أقصى يسار مجموعة العناصر التي تساوي قيمة كل منها القيمة المستهدفة . حتى وإن كانت القيمة المستهدفة غير موجودة في المصفوفة، فإن قيمة ، الناتجة عن تنفيذ الإجرائية، ستمثل مرتبة القيمة المستهدفة التي يجب أن تكون فيها، لو وجدت في المصفوفة، أو عدد عناصر المصفوفة التي كانت ستوجد قبل العنصر المُحدد بالقيمة المستهدفة.

في هذا الإطار، إذا كانت المصفوفة المُرتبة تحتوي على مجموعة من العناصر مكررة عددها ، يمكن استعمال الخوارزمية التالية لإرجاع العنصر الموجود في أقصى يسار مجموعة العناصر المرتبة:

• يمكن كذلك التعبير عن الخوارزمية السابقة بشبه الرماز التالي:
• function binary_search_leftmost(A, n, T):
• L := 0

while L ≤ R do

• m := floor((L + R) / 2)
• if A[m] < T then
• L := m + 1
• else if A[m] > T then

مقارنة مع طرق بحث أخرى

في هذا الإطار، يمكن استخدام البحث الاثناني لإجراء تطابق تام وتعيين العضوية، أي تحديد فيما إذا كانت القيمة المستهدفة موجودة ضمن مجموعة من القيم. هناك بنى بيانات تدعم التطابق الدقيق وتعيين العضوية بصورة أسرع مقارنة مع البحث الاثناني. ومع ذلك، على عكس الكثير من طرق البحث الأخرى، يمكن استخدام البحث الاثناني للتطابق التقريبي بشكلٍ فعال، وعادة ما تستغرق مثل هذه التطابقات زمناً هو بغض النظر عن نوع أو بنية القيم نفسها. فضلًا عن ذلك، ثمة بعض العمليات، مثل العثور على أكبر عنصر في المصفوفة وأصغرها، والتي يمكن إجراؤها بكفاءة عالية في مصفوفة مرتبة.

كذلك، إن استعمال المصفوفات المرتبة مع البحث اثناني حلٌ غير فعال عندما تكون عمليات الإدراج والحذف في المصفوفة متداخلة مع الاسترجاع، ويستغرق ذلك زمناً هو لكل عملية من هذا القبيل. علاوةً على ذلك، يمكن أن تؤدي المصفوفات التي المُرتَّبة إلى تعقيد استخدام الذاكرة خاصة عندما تحصل عملية إدراج العناصر في المصفوفة بشكل متكرر. ثمة بنى بيانات أخرى تدعم الإدراج والحذف بشكل أكثر كفاءة.

التعميم على البيانات

ومن جهة أخرى، يُعمم البحث الاثناني ليسعمل من أنواع محددة من البيانات. أشجار البحث الاثنانية هي إحدى هذه التعميمات، فعندما يُستعلم عن عقدة ما في الشجرة، تُحدِّد الخوارزمية العقدة حيث توجد القيمة المُستهدَفة، أو الشجرة الفرعية حيث توجد تلك العقدة. ويمكن كذلك تعميم ما سبق على نحو أشمل كما سيأتي: من أجل بيان غير موجَّهٍ ذي وزن إيجابي وعقدة ما مُستهدَفة فيه، فإنَّ استعلام الخوارزمية لعقدة ما في البيان، إما أن يكشَف عن كونها مساوية للقيمة المُستهدَفة، أو يُحدد الوصلة التي تقود إلى أقصر مسار يصل بين العقدة المُستعلَمة والعقدة المُستهدفة. خوارزمية البحث الاثناني القياسية حالة بسيطة لبيان وحيد المسار. بالمثل، فإن أشجار البحث الاثناني هي الحالة التي تكون نتيجة استعلام عقدة لا تساوي قيمتها القيمة المُستهدفة هي شجرةٌ فرعية تقع إلى يمين العقدة المُستعملة أو إلى يسارها. أما فيما يخص البيانات غير غير الموجَّهة ذات الأوزان الإيجابية، فثمة خوارزمية تُوجِد العقدة المُستهدَفة بعد استعلام في أسوأ الحالات.

while L != R do

m := ceil((L + R) / 2)

if A[m] > T then

إجرائية لإرجاع العنصر الموجود في أقصى اليمين

من جانب آخر، إذا كانت المتراجحة والشرط مُتحققان، فإن هو العنصر الموجود في أقصى يمين مجموعة العناصر التي تساوي قيمة كل منها القيمة المستهدفة . حتى وإن كانت القيمة المستهدفة غير موجودة في المصفوفة، فإن قيمة ، الناتجة عن تنفيذ الإجرائية، ستمثِّل عدد عناصر المصفوفة التي كانت ستوجد بعد العنصر المُحدد بالقيمة المستهدفة، لو وُجِدَ.

من جانب آخر، إذا كانت المصفوفة المُرتبة تحتوي على مجموعة متكررة من العناصر عددها ، يمكن استعمال الخوارزمية التالية لإرجاع العنصر الموجود في أقصى يمين مجموعة العناصر المرتبة:

• يمكن كذلك التعبير عن الخوارزمية السابقة ببشبه الرماز التالي:
• function binary_search_rightmost(A, n, T):
• L := 0

نبذة تاريخية

وعلى صعيد آخر، أشار جون ماكلي في عام 1946م للمرة الأولى إلى البحث الاثناني ضمن مجموعة محاضرات في مدرسة مور. في سنة 1957م، نشر ويليام ويزلي بيترسون الطريقة الأولى للبحث بالتقدير. عملت كل خوارزميات البحث الاثناني المنشورة حتى عام 1960م على المصفوفات التي يكون طولها من مضاعفات العدد 2...، لاحقًا نشر ديريك هنري ليمر خوارزمية بحث اثناني عملت على المصفوفات أيًا كان طولها. في عام 1962م، قدم هيرمان بوتينبروش تنفيذًا بلغة "ألغول 60" لعملية البحث الاثناني تضمن إجراء المقارنة للتحقق من مساواة العنصر للقيمة المُستهدفة في نهاية البحث، وسبّب هذا زيادةً في متوسط عدد التكرارات بمقدار واحد، ولكنه قلّل من عدد المقارنات لكل تكرار. طوّر شاندرا من جامعة ستانفورد البحث الاثناني المنتظم عام 1971م. قدّم برنارد شازيل وليونيداس جويباس في عام 1986م التتابعيَ الجزئي طريقةً لحل الكثير من مُشكلات البحث في الهندسة الحسابية.

وفي السياق ذاته، تعود جذور فكرة فرز قائمة من العناصر للسماح بالبحث فيها بسرعة أكبر إلى العصور القديمة، وأقدم مثال معروف عن ذلك هو لوح إناكيبيت آنو من بابل الذي يعود إلى نحو عام 200 قبل الميلاد. احتوى هذا اللوح نحو 500 رقماً مكتوباً بنظام العد الستيني ومقابلاتها مرتبةً معجمياً، ما يُسهل البحث عن البنود. علاوةً على ذلك، عُثر على الكثير من قوائم الأسماء المرتبة حسب حرفها الأول في جزر بحر إيجة. وهناك كذلك الكاثُولِيكون، وهو قاموس لاتيني أنجز عام 1286م، وكان أول عمل يصف قواعد ترتيب الكلمات أبجدياً، على عكس الأسلوب السابق الذي كان يعتمد على ترتيب الأحرف الأولى فقط.

مشكلات التنفيذ

وفي هذا السياق، قد تحدث حلقة لا نهائية إذا لم يُحدَّد شروط الخروج من الحلقة تحديدًا صحيحًا. عندما تتجاوز قيمةُ قيمةَ ، يُخفِق البحث ويَلزم أن يُبلَّغ عن ذلك. يلزم كذلك الخروج من الحلقة عند العثور على العنصر المُستهدَف، أمَّا في حالة التنفيذ الذي يُؤجَّل الفحص إلى النهاية، يلزم التحقق من نجاح البحث أو إخفاقه عند الانتهاء. وجد بنتلي أن أغلب المبرمجين الذين نفذوا البحث الاثناني تنفيذًا غير صحيح ارتكبوا خطأ ما في تحديد شروط الخروج.

ومن جهة أخرى، غالباً ما تكون المتغيرات المستعملة لتمثيل المؤشرات ذات حجم ثابت في التنفيذ العملي للخوارزمية، وهذا قد يؤدي إلى حصول فيض حسابي عند التعامل مع المصفوفات ذات الأحجام بالغة الكبر. إذا حُسبت نقطة منتصف النطاق على أنها فإن قيمة قد تتجاوز نطاق الأعداد الصحيحة لنوع البيانات المستعمل لتخزين نقطة المنتصف، حتى لو كانت قيمتا و ضمن النطاق. إذا كانت قيمتا و غير سالبتين، يمكن تجنب ما سبق وحساب نقطة المنتصف بالعلاقة .

ومن جهة أخرى، عندما قدّم جون بنتلي البحث الاثناني على شكل مسألةً في دورة للمبرمجين المحترفين، وجد أن 90% منهم أخفقوا في حلها حلًا صحيحًا بعد ساعات عديدة من العمل، ويرجع ذلك أساساً إلى التنفيذ غير السليم للخوارزمية والذي يُنتج مشكلة عند التشغيل أو يُرجع قيماً خاطئة في حالات اختبار حدية نادرة. تظهر دراسة نُشرت عام 1988م وشملت عشرين كتاباً عن البرمجة أن النص البرمجي المصدري الدقيق لعملية البحث الاثناني موجود فقط في خمسة منها. فضلًا عن ذلك، فإن تنفيذ بنتلي الذاتي للبحث الاثناني، والذي نشره في كتابه الصادر عام 1986 بعنوان "جواهر البرمجة"، تضمَّن خطأ فيضٍ ظلَّ غير معروفٍ لأكثر من عشرين عاماً. وشمل تنفيذ مكتبة لغة البرمجة جافا الخاص بالبحث الاثناني خطأ الفيض نفسه لأكثر من تسع سنوات.

L := m + 1

• else:
• R := m
• return L

R := m - 1

else:

return m

R := m - 1

• else:
• L := m
• if A[L] = T then
• return L
• return unsuccessful

البحث الاثناني الضجيجي

إضافةً إلى ذلك، البحث الاثناني الضجيجي حالة من لعبة ريناي وأولام، وهي نوع متفرع من لعبة الأسئلة العشرين التي يُحتمل أن تكون الإجابات خاطئة فيها.

في هذا الإطار، تقدم خوارزميات البحث الاثناني الضجيجية حلاً في الحالات التي لا يمكن فيها مقارنة عناصر المصفوفة بشكل موثوق. في هذه الحالات، ومن أجل كل زوج من العناصر، ثمةاحتمال أن تنجز الخوارزمية مقارنة خاطئة. يمكن للبحث الاثناني الضجيجي أن يجد الموقع الصحيح للقيمة المُستهدَفة مع احتمال معين يتحكم في الموثوقية. يلزم أن تنجر كل إجرائية بحث اثناني ضجيجي عددًا من المقارنات يبلغ مقارنة في المتوسط على الأقل، حيث هي دالة التحول الاثناني و هو احتمالية أن يعيد الإجراء موقعاً خاطئاً.

البحث الاثناني المنتظم

من جانب آخر، يُخزِّن البحث الاثناني المنتظم الفرق بين فهرسي العنصر المتوسط في تكرارين متتابعين، بدلاً من الحدين الأسفل والأعلى، ويُحسب مسبقاً جدول بحث يضم هذه الفروق سلفاً. مثلًا، إذا كانت المصفوفة المراد البحث فيها هي: ، فإن العنصر المتوسط سيكون . في هذه الحالة، يكون العنصر المتوسط من المصفوفة الفرعية اليسرى هو 3 والعنصر المتوسط من المصفوفة الفرعية اليمنى هو . سيُخزِّن البحث الاثناني المنتظم القيمة 3 حيث يبتعد كلا المؤشرين عن 6 بنفس المقدار. لتقليل فضاء البحث، تضيف الخوارزمية التغيير السابق أو تطرحه من فهرس العنصر المتوسط. قد يكون البحث الاثناني الموحَّد أسرع في الأنظمة التي يكون حساب نقطة المنتصف غير فعالٍ، مثل أجهزة الحاسوب العشرية.

التلبيد

وفي السياق ذاته، جداول التلبيد بنية بيانات تَقرُن كل سجل بمفتاح فريد يُحسب باستخدام دلة التلبيد. عند تنفيذ المصفوفات الترابطية، تكون جداول التلبيد عموماً أسرع من البحث الاثناني في مصفوفة سجلات مرتبة. تتطلب أغلب تطبيقات جدول التجزئة زمناً ثابتاً مستهلكاً في المتوسط. ومع ذلك، ليس التلبيد ذو فائدة لإيجاد التطابقات التقريبية، مثل حساب المفتاح التالي الأصغر التالي والمفتاح الأكبر التالي والمفتاح الأقرب، والمعلومة الوحيدة المستخلصة من بحثٍ غير ناجح هي أن القيمة المُستهدَفة غير مقترنة مع أي سجل. البحث الاثناني مثاليٌ لمثل هذه التطابُقات لأنه ينجزها في وقت لغارتمي.

بنى بيانات أخرى

اختلافات

علاوةً على ذلك، في بعض الحالات، تعطي بعض بنى البيانات مثل أشجار فان إيمد بواس، وأشجار الدمج، وأشجار تريس، ومصفوفات البت نتائج مُحسَّنة عند تطبيق البحث الاثناني أو العمليات الممكنة على المصفوفات المرتبة، مثل التطابقات التقريبية. والسبب في ذلك هو استفادة هذه البنى من خصائص محددة في المفاتيح، مثل صغر حجمها، فتعالجها بزمنٍ أصغر و تخزنها بمساحة أقل. طالما يمكن الحصول على مفاتيح جاهزة، فإن تنفيذ هذه العمليات باستعمال البنى السابقة يكون أكثر كفاءةً من البحث الاثناني. تستعمل بعض البنى، مثل مصفوفات جودي، نهجاً مختلطاً للاستفادة من ميزات المفاتيح مع الحفاظ على الفعالية والقدرة على إنجاز التطابق التقريبي.

تقييم الأداء

من جهة ثانية، يُحسب متوسط عدد مرات تكرار إجراء البحث الاثناني مع افتراض البحث عن كل عنصر موجود في المصفوفة بالعلاقة التالية:

ويساوي على وجه التقريب تكرارًا.

علاوةً على ذلك، يمكن تحليل أداء البحث الاثناني باستعرض سير الإجراء على شجرة اثنانية ومراقبة عدد المقارنات. تكون العقدة الجذر في الشجرة هي العنصر المتوسط في المصفوفة. فيما بعد، يكون العنصر المتوسط في النصف الأسفل من المصفوفة هو العقدة الفرعية اليسرى للجذر، والعنصر المتوسط في النصف الأعلى من المصفوفة هو العقدة الفرعية اليمنى للجذر. ثمَّ يُبنى ما تبقى من الشجرة الاثنانية باتباع نفس الطريقة. عند تطبيق الإجراء، يبدَأ البحث من العقدة الجذر، وتكون هي العقدة المنظورة، وتقارن قيمتها مع القيمة المُستهدفة، فإذا كانت القيمة المُستهدَفة أكبر من قيمة العقدة المنظورة تصبح العقدة المنظورة التالية هي العقدة الفرعية اليمنى للجذر، وإذا كانت القيمة المُستهدفة أصغر من قيمة العقدة المنظورة فإن العقدة المنظورة التالية تصبح العقدة الفرعية اليسرى للجذر، وتكرر عملية المقالة والتحرك على فروع الشجرة الاثنانية نحو اليمين أو اليسار حسبَ ما سبق، حتى تكون القيمة المُستهدفة مساوية للقيمة المنظورة، وعندها البحث يتوقف بنجاح.

وذلك على افتراض البحث عن كل عنصر موجود في المصفوفة.

وعلى صعيد آخر، تكون القيمة المستهدفة هي العنصر المتوسط للمصفوفة في أفضل الأحوال، وعندها ترجع مرتبة العنصر المتوسط بعد تكرار الإجراء مرة واحدة فقط.

علاوةً على ذلك، يكرر البحث الاثناني حلقة المقارنة مرَّة في أسوأ حالة، وفيها هو تمثيل الدالة الأرضية، وتعطي أكبر عدد صحيح يكون أصغر أو مساوٍ للقيمة التي تمرر لها، أي إذا مررنا 2.5 مثلاً، فإنها ستعيد القيمة 2. أمَّا فهي دالة اللغارتم الاثناني. ويعني الوصول إلى الحالة الأكثر سوءاً بلوغ أعمق مستوى للشجرة. في شجرة بحث اثناني عدد عناصرها هناك دائماً مستوىً. ويمكن كذلك الوصول إلى الحالة الأكثر سوءاً عندما تكون القيمة المستهدفة غير موجودة في المصفوفة.

إضافةً إلى ذلك، ليس ثمَّة أي خوارزمية بحث أخرى تعتمد على مقارنة العناصر فقط، لها قيمة أداء وسطية أفضل من خوارزمية البحث الاثناني بحسب عدد مرات تكرار الإجراء، وكذا الأمر في الحالتين الفضلى والأكثر سوءاً. تحتوي شجرة المقارنة التي تمثل البحث الاثناني على أقل عدد ممكن من المستويات، فجميع المستويات فيها، ما خلا المستوى الأخير، تكون ممتلئة بالعناصر بسعتها القصوى، وذلك لأن تقسيم المصفوفة إلى نصفين متساويين، أو قريبين من التساوي، تضمن أن تكون أحجام المصفوفات الفرعية الناتجة متساوياً أو شبه متساوٍ وبالتالي تكون الشجرة الاثنانية التي تمثل المصفوفة متوازنة بأفضل صورة ممكنة. بناء على ما سبق، يكون عدد العناصر المُستبعَدة في كل تكرار أعظم ما يُمكن، ويقلل ذلك عدد مرات التكرار الوسطي اللازمة للعثور على القيمة المستهدفة، وكذا الأمر في الحالة الأكثر سوءاً. قد تعمل بعض خوارزميات البحث الأخرى التي تعتمد على المقارنة أسرع من حرازمية البحث الاثناني من أجل بعض القيم المستهدفة، ولكن متوسط أداء الخوارزمية، من أجل عناصر المصفوفة جميعها يكون ذات قيمة أكبر من تلك التي تحققها خوارزمية البحث الاثناني.

وعلى صعيد آخر، إذا لم تكن القيمة المستهدفة في المصفوفة، فإن عدد مرات تكرار الإجراء يُحسب وسطياً بالعلاقة:

التتالي الجزئي

كذلك، التتالي الجزئي تقنية تُسِّرع عمليات البحث الاثناني عن عنصر محدد في مصفوفات مرتبة متعددة. يتطلب البحث في كل مصفوفة على حدة زمناً هو ، حيث هو عدد المصفوفات. يختزل التتالي الجزئي هذا الزمن إلى من خلال تخزين معلومات محددة عن كل عنصر ومكانه في المصفوفات الأخرى.

من جهة ثانية، طُوِّر التتالي الجزئي في الأصل لحل الكثير من مشكلات الهندسة الرياضية الحاسوبية بكفاءة، وطُبِّق لاحقاً في مجالات أخرى مثل استخراج البيانات والتوجيه في الإنترنت.

تقييم أداء الإجراء البديل

وعلى صعيد آخر، ثمة شكل من أشكال خوارزمية البحث الاثناني يتحقق فيما إذا كان العنصر المتوسط يساوي الهدف في نهاية البحث فقط. وسطياً، يلغي هذا الشكل نصف مقارنة من كل تكرار. يؤدي هذا إلى تقليل الوقت المستغرق في التكرار بشكل طفيف على أغلب أجهزة الحاسوب. وتضمن هذه الخوارزمية مع ذلك أن يُنجز البحث بالعدد الأقصى من التكرارات. يضاف تكرارٌ واحد وسطياً إلى البحث، بسبب تنفيذ حلقة المقارنة مرة فقط في أسوأ الحالات. إن الزيادة الطفيفة في قيمة الكفاءة من أجل كل تكرار لا تعوّض التكرار الفائض الإجمالي في كل الحالات، بل فقط عندما يكون عدد العناصر كبيراً جداً.

كذلك، يؤدي كل تكرار لإجراء البحث الاثناني الموصوف في الأعلى إلى مقارنة واحدة أو مقارنتين اثنتين للتحقق فيما إذا كان العنصر المتوسط يساوي القيمة المستهدفة. على افتراض أن عملية البحث عن العناصر جميعها تحصل بصورة متكافئة، فإن كل تكرار سيؤدي إلى 1.5 مقارنة وسطياً.

التسمية

كذلك، يُسمَّى البحث الاثناني كذلك بالعربية: البحث الثنائي أو خوارزمية البحث الثنائي ( أو البحث بالتنصيف ، ومن أسمائه المترجمة من الإنجليزية: البحث المُحدَّد بفاصل المنتصف، والبحث اللغارتمي، والقطع الاثناني.

خوارزمية العمل

الأشجار

ومن جهة أخرى، شجرة البحث الاثناني بنية بيانات شجرية تدعم مبدأ البحث الاثناني. تُنظَّم سجلات الشجرة بالترتيب، ويمكن البحث عن كل سجل فيها بخوارزمية مشابهة للبحث الاثناني، وتستغرق العملية متوسط الوقت اللغارتمي، وتتطلب عمليتا الإدراج والحذف في الأشجار الاثنانية كذلك متوسط الوقت اللغارتمي ذاته. يمكن أن تستغرق عمليات الإدخال والحذف في الأشجار الاثنانية زمنًا أقل من الزمن المستغرق لإنجاز هذه العمليات في المصفوفات المرتبة. بالإضافة لذلك، تحتفظ الأشجار الاثنانية بالقدرة على تنفيذ جميع العمليات الممكنة على مصفوفة مرتبة، بما في ذلك استعلامات النطاق والاستعلامات التقريبية.

وفي هذا الصدد، تميل أشجار البحث الاثناني إلى إنجاز بحثٍ سريع في الذاكرة الخارجية المخزَّنة في الأقراص الصلبة، لأنَّ بالإمكان تنظيمها بكفاءة في نُظُم الملفات، وتُعمِّم شجرة بي هذه الطريقة في التنظيم. تُستخدَم أشجار بي استخدامًا متكرِّرًا لتنظيم التخزين طويل الأمد مثل قواعد البيانات ونُظُم الملفات.

كذلك، يكون البحث الاثناني عادةً أكثر كفاءة من أشجار البحث الاثناني، لأن الأشجار قد لا تكون متوازنة تمامًا. ينطبق هذا كذلك على أشجار البحث الاثناني المتوازنة وأشجار البحث الاثناني التي توازن بين عقدها، لأنها نادراً ما تنتج الشجرة ذات عدد أقل عدد ممكن من المستويات. تكون أشجار البحث الاثناني عمومًا غير متوازنة وفيها بضعة عقد ذات عقدتين ابتنين، باستثناء الأشجار التي توازن بين عقدها، مما يؤدي إلى زيادة عدد المقارنات اللازمة لإنجاز البحث، ففي شجرة بحث اثنانية عدد عناصرها ، قد يبلغ متوسط عدد المقارنات وعدد المقارنات اللازم لإنجاز البحث في أسوأ حالة مقارنة. تحتاج أشجار البحث الاثناني بالإضافة لذلك لمساحة تخزين أكبر من المصفوفات المرتبة.

بحث خطي

إضافةً إلى ذلك، البحث الخطي خوارزمية بحث بسيطة تتحقق من كل سجل حتى تجد القيمة المستهدفة. يُجرى البحث الخطي في قائمة مرتبطة، ما عمليات الإدخال والحذف بشكل أسرع من المصفوفة. البحث الاثناني أسرع من البحث الخطي في لمصفوفات المرتبة، إلا إذا كانت المصفوفة صغيرة. ولكن تطبيق البحث يحتاج إلى فرز المصفوفة أولاً، وتتطلب جميع خوارزميات الفرز المعتمِدة على مقارنة العناصر، مثل الفرز السريع والفرز بالمرج، إنجاز مقارنات على الأقل في أسوأ الحالات. على عكس البحث الخطي، يمكن استخدام البحث الاثناني لإنجاز تطابق تقريبي بصورة فعالة. ويمكن كذلك إنجاز عمليات، مثل العثور على أصغر وأكبر عنصر في المصفوفة، بكفاءة في مصفوفة مرتبة، ولكن ليس في مصفوفة غير مرتبة.

تطابقات تقريبية

في هذا الإطار، تبحث الإجرائيات السابقة عن التطابقات التامة بين القيمة المستهدفة وعناصر المصفوفة المُرَتَّبة، ثُمَّ تعيد موضع العنصر المتطابق في المصفوفة. وعلى أي حال، يمكن توسيع البحث الاثناني ليشمل البحث عن تطابقات تقريبية اعتماداً على فكرة أن البحث الاثناني يعمل على المصفوفات المُرتبة. مثلًا، من أجل قيمة مستهدفة ما غير موجودة في المصفوفة، يُمكن استخدام البحث الاثناني لحساب مرتبة القيمة، أي عدد عناصر المصفوفة ذوات القيم الأصغر منها، والمرتبة السابقة لها، أي مرتبة العنصر السابق الأصغر، والمرتبة اللاحقة لها، أي مرتبة العنصر التالي الأكبر، والجار الأقرب لها. يمكن كذلك الاستعلام عن مجالٍ ما أي البحث عن عدد العناصر الموجودة بين قيمتين في المصفوفة باستخدام الاستعلامات سابقة الذكر.

في هذا الإطار، يمكن كذلك تنفيذ استعلامات عن المرتبة بالإجرائية الخاصة بالعثور على العنصر الموجود في أقصى اليسار، حيث يُرجع عدد العناصر التي تكون قيمتها أقل من القيمة المستهدفة. ويمكن تنفيذ استعلامات عن المرتبة السابقة باستخدام الاستعلامات عن المرتبة، فإذا كانت مرتبة القيمة المستهدَفة ، فإن مرتبة القيمة السابقة هي . أما فيما يخص استعلامات مرتبة القيمة اللاحقة، فبالإمكان استخدام الإجرائية المُخصصة للعثور على العنصر الموجود في أقصى اليمين لأجل ذلك، فإذا كانت نتيجة مرتبة القيمة المستهدفة هي ، فإن مرتبة القيمة اللاحقة لها هي  . يُحدد الجار الأقرب للقيمة المستهدفة بالنظر إلى المرتبتين السابقة واللاحقة لها، واختيار أقرب منهما. تٌنفَّذ الاستعلامات عن النطاق حسبَ ما يأتي: قي البداية تُحدد مرتبتي القيمتين، ثُمَّ يُحسَب عدد العناصر ذات القيمة المساوية أو الأكبر من الأولى والأقل من القيمة الثانية بإيجاد الفرق بين المرتبتين. يمكن تعديل هذا العدد نحو القيمة الصحيحة التالية أو السابقة، أي التي تنقص أو تزيد بمقدار واحد، حسبَ طريقة تحديد بداية ونهاية النطاق، أي هل نقطة البداية ونقطة النهاية جزءٌ من النطاق أم لا، وهل تحتوي المصفوفة على عناصر تتطابق قيمتها مع نقاط النهاية أم لا.

R := n

• while L < R:
• m := floor((L + R) / 2)
• if A[m] < T:

اشتقاق الحالة المتوسطة

ومن جهة أخرى، فيما يأتي، من أجل عمليات البحث الناجحة، سيُفترض أن البحث الاثناني يحصل بصورة متكافئة عن كل عنصر في المصفوفة، أمَّا من أجل عمليات البحث غير الناجحة، فسيُفترض أن البحث الاثناني يحصل بصورة متكافئة على الفواصل بين العناصر غير الموجودة في المصفوفة وعلى الفواصل بين العناصر غير الموجودة وتلك الموجودة في المصفوفة.

كذلك، يعتمد متوسط عدد التكرارات التي يُنجزها البحث الاثناني على احتمال وجود كل عنصر يجري البحث عنه. تختلف الحالة المتوسطة لعمليات البحث الناجحة عن تلك المرتبطة بعمليات البحث غير الناجحة. تُعرَّف الحالة المتوسطة لعمليات البحث الناجحة بأنها عدد التكرارات المطلوبة للبحث في كل عنصر في المصفوفة مرة واحدة بالضبط، مقسومةً على عدد العناصر فيها. أما الحالة المتوسطة لعمليات البحث غير الناجحة فهي عدد التكرارات المطلوبة للبحث عن عنصر ما في كل المجالات الفاصلة مرة واحدة بالضبط، مَقسُوماً على عدد الفواصل، أي .

تعقيد الفضاء

علاوةً على ذلك، يتطلب البحث الاثناني استعمال ثلاثة مؤشرات للعناصر، قد تكون فهارس للمصفوفة أو مؤشرات لمواقع الذاكرة، وذلك بغض النظر عن حجم المصفوفة. ويتطلب كذلك بتًا على الأقل من أجل ترميز مؤشرٍ إلى عنصر ما في مصفوفة تحتوي عنصراً، ويحتاج كذلك من مساحة التخزين من أجل المصفوفة السابقة نفسه. لذلك، فإن تعقيد فضاء البحث الاثناني .

R := m

• else:
• L := m + 1
• return R - 1