تحاك دوراني
قبل الخوض في التفاصيل، في الهندسة الرياضية، التحاكي الدوراني)(ويُعرف كذلك باسم التشابه الحلزوني هو تحويل هندسي في المستوى أو الفضاء ينشأ عن تركيب دوران وتحاك يشتركان المركز نفسه. ولذلك فعملية التركيب بينهما عملية تبادلية: أي أن تطبيق الدوران أولاً ثم التحاكي يعطي النتيجة نفسها لتطبيق التحاكي أولاً ثم الدوران. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
علاوةً على ذلك، وعلى الرغم من أن أصل هذه الفكرة غير معروف، إلا أنها وُثِّقت عام 1967 بواسطة كوكسيتر (Coxeter) في كتابه «عودة إلى الهندسة» (Geometry Revisited)، وفي سنة 1969 — باستخدام مصطلح «الدوران التوسعي» (dilative rotation) — في كتابه «مقدمة في الهندسة» (Introduction to Geometry).
التمثيل الجبري
- وبكتابة بالصورة القطبية :
- يمثل معامل التحاكي .
- تمثل زاوية الدوران.
- وبصورة عامة، يُعبر عن أي تشابه حلزوني في المستوى المركب بمركز عام بالصيغة:
- حيث ينشأ المركز كنقطة ثابتة تحقق المعادلة .
وفي السياق ذاته، في المستوى المركب، وبافتراض أن مركز التشابه يقع في نقطة الأصل ، يُعبر عن التشابه الحلزوني بضرب العدد المركب في عدد مركب آخر غير صفري :
الإنشاء الهندسي للمركز
في هذا الإطار، ليكن لدينا قطعتان مستقيمتان موجهتان وغير متوازيتين و ، فإنه يوجد تشابه حلزوني واحد فقط ينقل و . يمكن تحديد المركز هندسياً عن طريق تقاطع الدوائر:
علاوةً على ذلك، ننشئ الدائرة المارة بالنقاط و و ، والدائرة المارة بالنقاط و و .
إضافةً إلى ذلك، ننشئ المستقيم المر بالنقطتين و ، والمستقيم المر بالنقطتين و ، لنحدد نقطة تقاطعهما .
وفي السياق ذاته، نقطة التقاطع الثانية بين الدائرتين (بخلاف النقطة ) تمثل مركز التشابه .
الخصائص والوصف
في هذا الإطار، الحفاظ على الشكل: هو تحويل حافظ للزوايا (Conformal): فهو يحافظ على الزوايا الموجهة وعلى نسب الأطوال بين القطع المستقيمة، محولاً أي شكل مستوٍ إلى شكل مشابه له.
ومن ناحية أخرى، التشابه الحلزوني هو تشابه مباشر، ويمتلك الخصائص الأساسية التالية:
كذلك، مركز التشابه: إذا كان معامل التحاكي ، فإن التحويل يمتلك نقطة ثابتة واحدة فريدة تُسمى مركز التشابه.
من جانب آخر، المسار: عند تطبيق التشابه الحلزوني بشكل متكرر على نقطة ، فإن متتالية النقاط الناتجة تقع على حلزون لوغاريتمي قطبه هو المركز .
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟