تحدب

التعبير الرياضي

كذلك، إذا كان سعر الفائدة العائم الثابت هو r وسعر السند هو B ، فإن التحدب C يتم تعريفه على أنه:

هناك طريقة أخرى للتعبير عن C وهي من حيث المدة المعدلة D:

و بالتالي,

• إذاً:
• حيث D هي مدة معدلة.
• كيف تتغير مدة السند مع تغير سعر الفائدة؟
• بالعودة إلى التعريف القياسي للمدة المعدلة:
• حيث P (i) هي القيمة الحالية للقسيمة i و t (i) هو تاريخ الدفع المستقبلي.

ومن السهل أن نرى:

علاوةً على ذلك، يمكن كذلك إثبات إيجابية التحدب بشكل تحليلي بالنسبة لسندات أسعار الفائدة الأساسية. مثلًا ، في ظل افتراض منحنى عائد ثابت ، يمكن للمرء أن يكتب قيمة السند الحامل للقسيمة على النحو التالي، حيث ci تعني القسيمة المدفوعة في الوقت t (i) .

كذلك، مع زيادة سعر الفائدة ، تنخفض القيمة الحالية للمدفوعات الأطول أجلاً فيما يتعلق بالقسائم السابقة (بواسطة عامل الخصم بين المدفوعات المبكرة والمتأخرة). ومع ذلك ، ينخفض سعر السند كذلك عند زيادة سعر الفائدة ، ولكن التغييرات في القيمة الحالية لمجموع كل القسائم مضروبة في التوقيت (البسط في التجميع) تكون أكبر من التغييرات في سعر السند (المقام في التجميع). لذلك ، يجب أن تقلل الزيادات في r المدة (أو في حالة سندات القسيمة الصفرية ، اترك المدة غير المعدلة ثابتة). لاحظ أن المدة المعدلة D تختلف عن المدة العادية بالعامل الأول فوق 1 + r (كما هو موضح أعلاه) ، والذي يتناقص كذلك مع زيادة r.

من جانب آخر، بالنظر إلى العلاقة بين التحدب والمدة أعلاه ، يجب أن تكون التحدبات السندات التقليدية إيجابية دائمًا.

في هذا الإطار، لاحظ أن هذا على العكس يدل على سلبية مشتق المدة عن طريق التفريق .