تحليل بعدي

قائمة الأبعاد المستخدمة لعدد من الكميات الفيزيائية

• آلة حاسبة تعمل من خلال الويب تقوم بتحويل الوحدات عن طريق تحليل الأبعاد
• تطبيق لتحليل الأبعاد في وقت التحويل بلغة C++، في مكتبات المصدر المفتوح
• http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a4.pdf
• آلة حاسبة للكميات، لتحويل الوحدات القائمة على منهجية الأبعاد
• الوحدات والكميات، والثوابت الأساسية هي خرائط تحليل أبعاد المشروع

الوحدات الطبيعية

• طالع كذلك
• فضاء أفيني
• نظام وحدات سنتيمتر غرام ثانية
• إطار مرجعي
• كمية أساسية
• الوحدات الفيزيائية الجاوسية
• وحدات طبيعية
• كمية فيزيائية
• فضاء متجهي
• ملاحظات
• روابط خارجية

وعلى صعيد آخر، This particularly useful in particle physics and high energy physics, in which case the energy unit is the electron volt (eV). Dimensional checks and estimates become very simple in this system.

من جهة ثانية، However — if electric charges and currents are involved, another unit to be fixed is for electric charge, normally the شحنة أولية e though other choices are possible.

وفي السياق ذاته، إذا كانت "c" = "h" =1، حيث c = سرعة الضوء و h = ثابت بلانك، وبافتراض اختيار وحدة ثابتة ملائمة للطاقة، فإنه يمكن التعبير عن جميع كميات الطول "L"، والكتلة "M" والزمن "T" (بعدياً) كقوة للطاقة «ط». وذلك لأنه يمكن التعبير عن الطول والكتلة والزمن باستخدام السرعة والحركة والطاقة.

إضافةً إلى ذلك، though speed and action are dimensionless (v = c = 1 and S = ħ = 1) — so the only remaining quantity with dimension is energy. In terms of powers of dimensions:

التعريف

وعلى صعيد آخر، البعد هو كمية فيزيائية يمكن التعبير عنه كحصيلة للأبعاد المادية الأساسية الكتلة (M) والطول (L) والزمن (T) والشحنة الكهربائية (Q) ودرجة الحرارة المطلقة (Θ).

إضافةً إلى ذلك، تستعمل عملية تحويل الوحدات للربط بين وحدتين مختلفتين تستعملان لقياس نفس الكمية الفيزيائية. مثلًا، 1 بوصة = 2.54 سنتيمتر، وعليه فإن (2.54 cm/in) هو معامل التحويل، وهو بذاته غير بعدي ويساوي 1. بناءً على ذلك، إن ضرب المقدار بمعامل التحويل هذا لن يغير الكمية. ويشار إلى أن الرموز البعدية ليس لها معاملات تحويل.

وحدات القياس المعيارية

من جهة ثانية، مصطلح البعد هو أكثر تجريداً من نطاق وحدات القياس: فالكتلة هي بعد، في حين الكيلوغرام هو وحدة لقياس الحجم في البعد الكمي.

إضافةً إلى ذلك، من حيث المبدأ، يمكننا تعريف أبعاد لكميات فيزيائية أخرى كأبعاد أساسية (كزخم الحركة أو الطاقة أو تيار كهربائي). لا يضع الكثير من الفيزيائيين درجة الحرارة "Θ" كبعد أساسي للكميات الفيزيائية، وذلك لأنها تعبر عن طاقة كل جزيئ لكل درجة حرية، والتي يمكن التعبير عنها من حيث الطاقة (أو الكتلة والطول والزمن).

علاوةً على ذلك، لكن لا يزال فيزيائيون آخرين لا يعتقدون أن الشحنة الكهربائية (Q) كبعد أساسي منفصل للكميات الفيزيائية، لأنه يُعَبَّر عنها كنظام من نظام وحدات سنتيمتر غرام ثانية. كما أن هناك فيزيائيون يشكون في وجود أبعاد أساسية غير متوافقة مع الكميات الفيزيائية

كذلك، من الأمثلة على ذلك، إن بعد الكمية الفيزيائية السرعة هو الطول\الزمن (الطول مقسوماً على الزمن) (L/T or LT−1)، أما بعد الكمية الفيزيائية القوة فهو «الكتلة × تسارع» أو «الكتلة×(الطول\الزمن)\الزمن» (ML/T2 or MLT−2).

ومن جهة أخرى، إن وحدات قياس الكميات الفيزيائية وأبعادها مترابطة بعضها ببعض، لكنها ليست ذات مفاهيم متطابقة. فوحدات الكميات الفيزيائية تعرّف بالاتفاق وترتبط ببعض المعايير؛ مثلًا، ثمة وحدات عديدة لقياس الطول كالمتر والقدم والإنش والميل والميكروميتر، ولكن الطول له بعد واحد هو L أو ط، وهو مستقل عن وحدات القياس المستعملة لقياسه.

مبدأ التماثل العظيم

وفي هذا السياق، لعب جيمس كليرك ماكسويل دوراً هاماً في تأسيس الاستخدامات الحديثة للتحليل البعدي، وذلك باختيار كل من الكتلة والطول والزمن كوحدات أساسية، في حين أشار إلى الوحدات الأخرى كوحدات مشتقة.

من جانب آخر، كان المبدأ الأساسي لتحليل الأبعاد معروفاً بالنسبة لإسحاق نيوتن (1686)، والذي أشار إليه على أنه «مبدأ التماثل العظيم».

كذلك، قد تتضمن المعادلة البعدية أبعاداً مختزلة أو مختصرة بواسطة عملية «إلغاء الأبعاد» والتي تبدأ بعملية التحليل البعدي، وتتضمن كميات لتحديد مقاييس لنظام أو وحدات طبيعية. وهذا يلقى نظرة فاحصة على الخصائص الأساسية للنظام، كما هو موضح في الأمثلة أدناه.

وفي هذا السياق، قدّم عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف فورييه (القرن التاسع عشر) مساهمات هامة تقوم على فكرة أن القوانين الفيزيائية كقوانين نيوتن للحركة يجب أن تكون مستقلة عن الوحدات المستعملة لقياس المتغيرات الفيزيائية. قاد ذلك إلى استنتاج مفاده أن القوانين ذات المعنى يجب أن تكون معادلات متجانسة من حيث وحدات القياس المختلفة؛ وقد صيغت هذه النتيجة في نظرية π باكينغهام. توضح هذه النظرية كيف أن كل معادلة ذات معنى من الناحية الفيزيائية تتضمن عدد «ن» من المتغيرات يمكن إعادة كتابتها كـ ن- م بمعاملات غير بعدية، حيث م رتبة المصفوفة البعدية. أما الأهم من ذلك، تعتبر هذه النظرية وسيلة لحساب المعاملات غير البعدية من المتغيرات المعطاة.