تضاؤل أسي

مجموع نصفي العمر للعملية

من جهة ثانية، وفي حالة تحلل يجري فيها ثلاثة من العمليات متزامنين فيمكن حساب عمر النصف الكلي كما أوضحانا أعلاه عن طريق حساب المتوسط التوافقي لمتوسطات الأعمار الفردية:

عمر النصف للتحلل الأول،

• و عمر النصف للتحلل الثاني.
• ولكتابة المعادلة باستخدام ثابتي التحلل، يصبح عمر النصف الكلي
• موصوفا بالمعادلة:

متوسط العمر

وفي هذا الصدد، إذا كانت الكمية المتحللة مكونة من عدد من الذرات، فيمكن حساب متوسط الزمن الذي تبقى فيه الذرة على حالها بدون تحلل. وتسمي متوسط الزمن هذا «متوسط العمر»

. والعلاقة بين متوسط العمر ومعدل التحلل هي:

ويسمى متوسط العمر

ومن ناحية أخرى، كما يمكن كتابة معادلة التحلل في صورة أخرى تستعمل كثيرا - كما يرى أسفله - وهي تعطي الحل في حالة اختيار أساس لأس مساويا 2 بدلا عن e. وذلك الحل يمثل حالة تساوي زمن الاضمحلال بزمن نصف العمر.

من جهة ثانية، وهو يعطي الزمن الذي يضمحل أو يتحلل فيه النظام بنسبة الثابت الطبيعي e .

وفي هذا السياق، (ملحوظة 2: الأس له إشارة سالبة، مما يعنى أن الدالة في تناقص (اضمحلال). وفي بعض الحالات تكون إشارة الأس موجبة، وبالتالي تصبح قيمة الدالة في تزايد. تلك حالة تكوّن نجم من سحابة غبار كوني حيث يجمع مادة من حوله وتتزايد كتلته طبقا لدالة أسية موجبة الأس، حتي يبدأ فيه التفاعل النووي ويصبح نجما مضيئا.)

وفي هذا السياق، (ملحوظة 1 : أس الثابت الطبيعي يكون «دائما» عددا مطلقا (لا وحدات له)، فنجد فيه ووحدتها ثانية مثلا وt ووحدتها ثانية كذلك، فيكون الكسر /tعددا مطلقا.)

في هذا الإطار، كذلك ثابت زمني للاضمحلال ، وهو أحد مكونات أس الثابت الطبيعي e :

عمر النصف

من جانب آخر، وعند التعويض بتلك المعادلة عن في المعدلة الأسية أعلاه نحصل على المعادلة:

في هذا الإطار، من الخواص التسهيلية للتحلل الإسي للأساس e حساب الزمن الذي تتحلل أو تضمحل خلاله الكمية إلى نصف مقدارها الأولي. ويسمى ذلك الزمن نصف العمر، ويرمز له عادة بالرمز t1/2. ويمكن كتابة نصف العمر بعلاقته بثابت التحلل، كالآتي:

عمليات تحلل متوازية

وفي السياق ذاته، تتحلل بعض العناصر المشعة في عمليات متوازية كل منها له عمر النصف الخاص به، وتسمى تلك العمليات «قنوات التحلل» وهي تسير جميعها في نفس الوقت.

كذلك، وعلى ذلك فيمكن القول بأن متوسط العمر لعدة قنوات للتحلل هو المتوسط التوافقي لمتوسطات الأعمار المرتبطة لكل عملية تحلل على حدة مقسومة على عدد العمليات.

• وحل تلك المسألة قد أجريناه في فصل آخر أعلاه، حيث عاملنا المجموع
• كثابت تحلل كلي جديد .
• وبما أن ، مجموع ل فيمكن تعيينها من s:

حيث:

في هذا الإطار، يكون المعدل الكلي لتحلل الكمية N هو مجموع قنوات التحلل، أي أنه في حالة التحلل من خلال عمليتين، يمكن كتابة:

كذلك، وبما أن أنصاف الأعمار تختلف عن متوسط العمر بثابت معين فإن نفس المعادلات تبقى سارية على نصف العمرين المذكورين، أي أن:

N(t) الكمية عند الزمن t,

قياس ثابت التحلل

و N0 = N(0) الكمية الابتدائية عند الزمن t = 0.

استنتاج متوسط العمر

في هذا الإطار، نفترض مجموعة من الذرات تتحلل باستمرار حتى تتحلل كلها بالكامل، فيكون متوسط العمر هو الزمن المتوقع لكي تتحلل إحدى الذرات في المجموعة. أي انه إذا كان عمر الذرة الواحدة من المجموعة هو الزمن بين الزمن المرجعي وزمن تحلل الذرة يكون متوسط العمر عبارة عن المتوسط الحسابي لعمر الذرات.

• نبدأ بالمعادلة الأصلية للمجموعة:
• نستعمل c كعدد توحيد normalzation ، يستعمل لمساواة الكمية بالواحد.
• أو:

إضافةً إلى ذلك، يتبين أن التحلل الأسي هو مضاعفات (غير متجهة) للتوزيع الأسي، أي أن عمر الذرات تكون موزعة توزيعا أسيا يتميز بقيمة متوقعة، ويمكننا حسابها عن طريق إجراء التكامل الجزئي:

تضمحل بعض الاهتزازات طبقا لدالة أسية

• مراجع
• انظر كذلك
• سلسلة اضمحلال
• دورة CNO
• جسيم بيتا
• اصطياد إلكترون
• تحلل ألفا
• اضمحلال بيتا
• تفاعل نووي

وفي هذا الصدد، في الصيدلة وعلم السموم فقد وجد أن أدوية عديدة تتفاعل في الجسم طبقا لدالة أسية. وتعطي كل من «عمر النصف ألفا» و«عمر النصف بيتا» في الطب معدل انتشار مادة في الجسم ومعدل اضمحلالها.

ومن ناحية أخرى، تتغير شدة الموجات الكهرومغناطيسية مثل الضوء وأشعة إكس أو أشعة غاما في وسط يمتصها طبقا لدالة أسية تعتمد على مدى تعمقها في الوسط.

وعندما تكون t

إضافةً إلى ذلك، وهذا معناه أن متوسط العمر يساوي نصف العمر مقسوما على اللوغاريتم الطبيعي ln2 :

ومن جهة أخرى، تصبح 2−1 = 1/2، أي تتحلل نصف الكمية الابتدائية. وكذلك بعد مرور 3 فترات من نصف العمر سيتبقى من الكمية الابتدائية الكمية 1/23 = 1/8.

إضافةً إلى ذلك، ومثلًا يبلغ عمر النصف للبولونيوم-210 المشع 138 يوم ويبلغ متوسط العمر له 200 يوم.

ظواهر تحكمها الدالة الأسية

كذلك، وفي حالة تفريغ مكثف كهربي عبر عدة مقاومات موصلة على التوازي فهذا مثال على عمليات اضمحلال متتابعة حيث تمصل كل مقاومة عملية منفردة. وفي الواقع فإن معادلات توصيل مقاومتين على التوالي أو على التوازي فإنما هي مناظرة لمعادلات التحلل الأسي عن طريق عمليتين.

إضافةً إلى ذلك، ويكون مقدار الثابت الزمني τ للعملية مساويا R C ، وزمن الشحن إلى النصف مساويا R C ln2.

وعلى صعيد آخر، يعتمد معدل سير التفاعل الكيميائي على تركيز أحد المواد الداخلة في التفاعل أو تركيز كلاهما. تلك الأنواع من التفاعلات تحكمها دالة أسية. كذلك تفاعل الإنزيمات وتفاعل المحفزات تسير طبقا لدالة أسية.

تتحلل العناصر المشعة طبقا للدالة الأسية كما رئينا أعلاه

ومن ناحية أخرى، تنخفض شحنة مكثف كهربائي ذو سعة كهربائية C طبقا لدالة أسية في حالة ثبات المقاومة R

ومن ناحية أخرى، إذا تلامس جسم ساخن بجسم بارد تنتقل الحرارة بينهما طبقا للدالة الأسية عنما يجري ذلك بسرعة بطيئة، قانون نيوتن للتبريد.

من جهة ثانية، يقل الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض طبقا لدالة أسية، ويبلغ معدل انخفاض الضغط بالرتفاع 12% لكل 1000 متر.

حل المعادلة التفاضلية

math> s−1.

• المعادلة التي تصف التحلل الأسي (تحلل أسي لأساس الثابت الطبيعي e):
• أو:
• بإجراء التكامل نحصل على:
• حيث:
• C ثابت التكامل.
• وبالتالي:

من جانب آخر، تلك هي المعادلة الشائعة الاستخدام لوصف التحلل الأسي. وتعطى وحدات ثابت التحلل

ومن جهة أخرى، نعوض عن عن طريق حل المعادلة عند الزمن الابتدائي حيث أن الكمية الابتدائية كانت عند الزمن الابتدائي .