تفاضل كامل
المحتويات
تعريفًا بالموضوع، تفاضل كامل أو المشتقة الكاملة في الرياضيات (بالإنجليزية: total derivative) وبصفة خاصة في حساب التفاضل وهو يختص بتفاضل دالة تعتمد علي عدة متغيرات. فإذا كان لدينا دالة f تعتمد على المتغيرات مثلا t,x,y وغيرها فإن المشتقة الكاملة للدالة f بالنسبة إلى أحد المتغيرات مثل t تكون مختلفة عن المشتقة الجزئية. بحساب التفاضل الكامل للدالة f بالنسبة إلى t لا نعتبر أن المتغيرات الأخرى ثابتة أثناء تغير t ، وإنما تسمح للمتغيرات الأخرى x,y أن تتغير بالنسبة إلى t. وتأخذ المشتقة الكاملة أعتماد المتغيرات فيما بينها في الحسبان للحصول على التغير الكامل للدالة f على t. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
في هذا الإطار، فمثلًا، يكون التفاضل الكامل للدالة (f(t,x,y بالنسبة إلى t كالآتي:
الحصول على المشتقة الكاملة بالتفاضل
في هذا الإطار، يعطينا التفاضل تفسيرا واضحا للمشتقة الكاملة. فمثلًا، إذا افترضنا دالة للزمن t وعدد n من المتغيرات فيكون تفاضل الدالة M كالآتي:
التفاضل والتكامل
اشتقاق (رياضيات)
وقد تكون المتغيرات t وpj
- فتكون:
- .
- وإذا كانت المتغيرات pj دوالا ل t, نحصل على:
- المشتقة الكاملة والمشتقة الجزئية
- تصادفنا في الميكانيكا مسائل تكون فيها الدالة
- لا تعتمد فقط على إحداثيات الموقع
ومن جهة أخرى، هي بدورها دوال بحيث تكون الدالة M معتمدة على تلك الدوال الأخرى، عندئذ يمكننا اعتبار المعادلة السابقة بأنها تفاضل من الدرجة الأولى. وميزة تلك الطريقة أنها تأخذ في الاعتبار كذلك اعتماد المتغيرات على بعضها البعض. فمثلا، إذا كانت ،
وعندما نقوم بضرب طرفي المعادلة بمعامل التفاضل
إضافةً إلى ذلك، وبناء على ذلك نطبق التفاضل على المشتقة الكاملة ل و للحصول على التفاضل بالنسبة إلى و, والتي يمكن بها تعيين تأثيرهما على ..
نحصل على:
ونعبر عن معامل التفاضل كالآتي:
من جهة ثانية، وهو يصف المشتقة الكاملة لدالة (في تلك الحالة بالنسبة إلى المتغير x).
في هذا الإطار، والنتيجة هي التغير التفاضلي للدالة . ونظرا لأن تعتمد على , فإن جزء من هذا التغير سيكون بسبب المشتقة الجزئية للدالة بالنسبة إلى . ولكن بعض هذا التغير يعود على المشتقات الجزئية للدالة واعتمادها على المتغيرات و.
و
من جهة ثانية، و إحداثيات مواقع نقطة تتحرك وتغير موضعها بمرور الزمن. في تلك الحالة تصبح دالة الحركة:
.
وعلى صعيد آخر، يسمى اعتماد على الزمن مباشرة «اعتمادا بسيطا» أو «اعتمادا مباشرا» Explicit،
كذلك، وإذا كانت إحداثيات الموقع و هي الأخرى معتمدة على الزمن فيسمى اعتماد على الزمن «اعتمادا ضمنيا» Implicit.
وفي هذا السياق، حيث تكون كل من و ثابتين.أي أن تلك الحالة تراعي الاعتماد المباشر للدالة على الزمن.
وإنما كذلك على الزمن. أي تكون:
وهي معتمدة بطريقتان مع الزمن ، حيث أن نفسها تعتمد على الزمن
التفاضل
كذلك، ومن ناحية أخرى نتحدث عن «المشتقة الكاملة» للدالة بالنسبة للزمن عند تعاملنا مع الدالة المركبة، أي:
أقرأ كذلك
وترتبط العلاقتان ببعضهما البعض كالآتي:
علاوةً على ذلك، نسمي المشتقة «مشتقة جزئية» للدالة بالنسبة للزمن عندما نعني المشتقة الجزئية للعلاقة الأولى، أي:
من جهة ثانية، و هذه العلاقة تعتبر كلتا الحالتين لاعتماد الدالة «المباشرة» و«الضمنية» على الزمن.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟