تفرطح

مجال تغير التفرطح

باعتبار مربع التحويلة الموسطة المختزلة ل : ،

فالقيمة المتوقعة ل تساوي وتباينه يساوي

وبحكم أن التباين قيمة موجبة، نستنتج أن:

و

علاوةً على ذلك، للتفرطح إذا عتبة دنيا بينما ليست له عتبة عليا. العتبة الدنيا تتحقق في حالة توزيع بيرنولي .

التفرطح المعير

وفي هذا الصدد، هذه الصيغة هي الأكثر استعمالا بين الإحصائيين، وتعرف بتفرطح فيشر، وأيضا في البرامج الإحصائية (التي تقوم بحساب قيمة مقدر بدون انحياز ل ). يعزى هذا التفضيل إلى كون قيمة التفرطح بالنسبة لتوزيع طبيعي تساوي 3، وبذلك تعتبر حالة التوزيع الطبيعي كنوع من المعايرة القياسية لكل التوزيعات الأخرى.

في هذا الإطار، ويسمى كذلك بالتفرطح بإفراط (بالإنجليزية:Excess Kurtosis) ويقضي بطرح 3 من التفرطح الغير معير: .

التفرطح الغير مُعيَّر

وهو يساوي : مع العزم من الرتبة للمتغير .

وفي هذا الصدد، باعتبار متغير عشوائي حقيقي بمتوسط وانحراف معياري ، معامل التفرطح للمتغير هو العزم من الرتبة الرابعة للتحويلة المعيارية ل :

أشكال التفرطح

إضافةً إلى ذلك، تفرطح مسطح (Platykurtic): تكون قمة منحنى التوزيع آيلة للتسطيح.

، تفرطح متوسط (Mesokurtic): كما في حالة التوزيع الطبيعي.

علاوةً على ذلك، ، تفرطح رفيع (Leptokurtic): المميز للتوزيعات الاحتمالية التي تكون قمة منخناها رفيعة.

مقدر بدون انحياز

المقدر الأكثر استخداما لحساب هو:

وفي هذا الصدد، بحيث باعتبار و هما المقدران، بدون انحياز، على التوالي للقيمة المتوقعة وتباين المتغير .