تكامل خط

تفاضل المتجه

إضافةً إلى ذلك، يمكن تشبيه التكامل الخطي في تفاضل المتجه كمقياس للتأثير الكلي لمجال معطى على طول المنحنى.

التطبيقات

كذلك، تطبيقات التكامل الخطي تشمل الشغل في المجالات الميكانيكية، الكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم.

حيث

في هذا الإطار، r: [a, b] → C تقابل بارامتري للمنحنى C بحيث أن r(a) وr(b) يعطي النقاط الطرفية لـC.

التكامل الخطي المركب

علاوةً على ذلك، افرض أن U زمرة مفتوحة لعدد مركب C, γ : [a, b] → U هي منحنى ممكن التوحيد وf : U → C هي دالة. فإن التكامل

• يمكن تعريفه على الفتري [a, b] إلى a = t0 < t1 <... < tn = b وبالنظر في التعبير
• يصبح التكامل نهاية هذا المجموع عندما تقترب أطوال التقسيمات من الصفر.
• إذا كانت منحنى متصل قابل للتفاضل، يصبح التكامل الخطي

استقلالية المسار

• إذا كان المجال F هو تدرج لمجال قياسي G, أي,
• فإن الاشتقاق للدالة المركبة من G و(r(t هو
• والذي يكون معامل التكامل للتكامل F على (r(t. وعليه إذا علم المسار C , فإن

من جهة ثانية، وبتعبير آخر، تكامل F على C يعتمد فقط على قيم G في النقاط (r(b و(r(a وهو بالتالي فهو مستقل عن المسار بينها.

الاشتقاق

• وبما أن المسافة بين كل نقطتين متجاورتين هي:
• وبتعويضها في مجموع ريمان
• وهذا هو مجموع ريمان للتكامل
• التكامل الخطي لمجال متجه

في هذا الإطار، باستخدام التعاريف السابقة لـf, C وصورتها البارامترية r(t) يمكن إنشاء التكامل من مجموع ريمان وذلك بتقسيم الفترة [a,b] إلى n فترة طولها Δt = (b − a)/n. وبجعل tiالنقطة الـi على [a,b], بالتالي r(ti) تعطينا موقع النقطة i على المنحنى. ونكون قد قربنا المنحنى C بمسار مضلع.

تعريف

كذلك، أي أن التكامل الخطي لمجال قياسي ما هو إلا تكامل خطي لمجال متجه تكون المتجهات فيه دائمًا مماسية على الخط.

كذلك، حيث · هو الضرب القياسي r: [a, b] → C صورة التقابل البارامترية للمنحنى C بحيث r(a) وr(b) تعطي النقاط ال C.

علاوةً على ذلك، بالنسبة لـ مجال متجه F : U ⊆ Rn → Rn, يعرف التكامل الخطي على منحنى C ⊂ U, في اتجاه r, كما يلي:

التكامل الخطي لمجال قياسي

كذلك، يمكن تفسير التكامل الخطي على مجال قياسي بأنه المساحة تحت المجال المنحوتة بمنحنى معين. تخيل السطح المنشأ بـz = f(x,y) والمنحنى C في المستوى x-y. يكون التكامل الخطي لـf هو المساحة الناتجة من نقش هذه النقاط على السطح C مباشرة.

عندما تكون منحنى مغلق فإن الصورة

تستعمل غالبًا للتكامل الخطي لـ f على طول .

وبتعويض ذلك في مجموع ريمان نحصل على

وهي كذلك مجموع ريمان للتكامل المعرف آنفًا.

F على C. بي

ومن ناحية أخرى، نلاحظ أن متجه الإزاحة بين كل نقطتين متتابعتين على المنحنى هو

الاشتقاق

في هذا الإطار، بنفس الطريقة والتعاريف السابقة، ولكن بدلًا من حساب المسافات بين النقاط، سيتم احتساب إزاحات متجهاتها, Δsi. وبحساب F عند جميع النقاط كما سبق وبأخذ الضرب القياسي مع كل إزاحة نحصل على نصيب كل جزء من

ميكانيكا الكم

• انظر كذلك
• تكامل سطح
• تكامل حجمي

وفي هذا الصدد، إن تشكيل تكامل المسار في ميكانيكا الكم في الواقع لا يشير مباشرة إلى هذا النوع من التكاملات ولكن يشير إلى التكاملات على فضاء من المسارات، لدالة لها مسار ممكن. مع ذلك تبقى هذه التكاملات ذات أهمية في نظرية الاحتمالات والسعات.

تعريف

على أنه

كذلك، إذا كان لدينا مجال قياسي f : U ⊆ Rn → R, يعرف التكامل الخطي على منحنى C ⊂ U is

مثال

يمكن التحقق من هذه الإجابة من صيغة تكامل كوشي.

في هذا الإطار، حيث يمكننا استخدام حقيقة أن z يمكن كتابتها بالصورة reit حيث r هي القيمة المطلقة لـ z. هذا يثبت على 1 في دائرة الوحدة، ويكون المتغير الوحيد المتبقي هو الزاوية، والتي رمز إليها بـ t.

وعلى صعيد آخر، لتكن الدالة f(z)=1/z, وC هي دائرة الوحدة حول 0, والتي يمكن تمثيلها بارامتريًّا بـ eit, علمًا أن t في الفترة [0, 2π]. بالتعويض نجد أن: