تكامل ريمان

التكامل العلوي والسفلي

• لكي تكون دالة معينة تزايدية، يجب أن يتحقق الشرط التالي:
• وهذا يعني أن:
• ومنه:
• العلاقة التالية صحيحة لكل ψ معرفة على مجال معين، ومنه فإن:

ملاحظات

وفي هذا الصدد، التكامل الأدنى للدالة f دائما ما يكون أكبر من التكامل الأعلى، لكنه قد يساويه في بعض الحالات، فمثلا هذه التكاملات تكون متساوية في –∞ و +∞ إذا كانت الدالة f غير مكبورة وغير مصغورة.

وفي هذا الصدد، هذا الحد الأدنى والذي هو مجموع القيم التزايدية للدالة f يسمى «التكامل الأعلى للدالة f».

تكامل دالة في جزء معين

ومن جهة أخرى، من خلال ما سبق، يُمكن استنتاج أن هذا التعريف هو تعريف ثابت، هذا يعني أنه صالح لكل الدوال المتكاملة في مجال أو جزء معين.

• من أجل دالة معرفة بـ على المجال [c, d] (بحيث a ≤ c ≤ d ≤ b):
• المساحة تحت منحنى هذه الدالة تساوي مساحة المستطيل ذو القاعدة [c, d] والطول 1.
• إذن التكامل في هذه الحالة يصبح: