تكامل عددي

خوارزميات متلائمة

• def calculate_definite_integral_of_f(f, initial_step_size):
• This algorithm calculates the definite integral of a function
• from 0 to 1, adaptively, by choosing smaller steps near
• problematic points.
• x = 0.0
• h = initial_step_size

طرق التكامل ذات البعد الواحد

من جهة ثانية، جزء هام من تحليل أي طريقة من تكامل العددي هو دراسة خطأ التقريب كمعادلة في عدد التكاملات. وعادة ما تعتبر الطريقة التي ينتج خطأ صغير لعدد قليل من التقييمات أفضل. تخفيض عدد التقييمات من الكمية المتكاملة يقلل من عدد من العمليات الحسابية وبالتالي يقلل من إجمالي الخطأ. كذلك، كل حساب قد يستغرق وقتا طويلا، والكمية المتكاملة قد تكون معقدة جدا.

في هذا الإطار، 'brute force' نوع من التكامل العددي يمكن القيام به إذا كانت الكمية المتكاملة حسنة التصرف، من خلال تقييم الكمية المتكاملة مع زيادات صغيرة جدا.

من جانب آخر، طرق حساب التكامل العددي يمكن وصفها بشكل عام على أنها تقييمات مجموعة للكميات المتكاملة للحصول على قيمة تقريبية للتكامل. الكميات المتكاملة تحسب عند مجموعة معروفة من النقط تدعى نقاط التكامل والمجموع الموزون لهذه النقط يستعمل في تقريب التكامل. نقاط التكامل والأوزان تعتمد على طريقة معينة والدقة تستنتج من التقريب.

أسباب اللجوء للتكامل العددي

وعلى صعيد آخر، قد يعرف المرء الكمية المتكاملة ولكن يكون من الصعب أو المستحيل إيجاد الاشتقاق العكسي والذي يفترض أن يكون دالة أساسية. مثال ذلك هو ، والتي لايمكن كتابة اشتقاقها العكسي بصورة أولية.

في هذا الإطار، توجد أسباب عدة للجوء للتكامل العددي. فالكمية المتكاملة يمكن معرفتها فقط عند نقاط معينة، كتلك المحصل عليها عن طريق الأخذ بالعينة. بعض الأنظمة المضمنة وبعض التطبيقات الأخرى قد تحتاج إلى تكامل عددي لهذا السبب.

من جهة ثانية، قد يكون ممكننا إيجاد الاشتقاق العكسي بشكل رمزي، ولكن ربما كان حساب التقريب العددي أسهل من إيجاد الاشتقاق العكسي. قد تكون تلك الحالة عندما يعطى الاشتقاق العكسي في صورة متسلسلة لانهائية، أو إذا كان تقديرها يتطلب دالة خاصة غير متوافرة.

x += h

• if error_too_small_in_quadrature_of_over_range(f, [x,x+h]):
• h = make_h_larger(h) # Avoid wasting time on tiny steps.
• return accumulator

quad_this_step

• if error_too_big_in_quadrature_of_over_range(f, [x,x+h]):
• h = make_h_smaller(h)
• else:
• accumulator += quadrature_of_f_over_range(f, [x,x+h])

accumulator = 0.0

• while x < 1.0:
• if x + h > 1.0:
• h = 1.0 - x

تاريخ

ومن ناحية أخرى، مساحة سطح الكره تساوي أربع أضعاف مساحة الدائرة العظمى لهذه الكره

ومن جهة أخرى، قام جون وليس بتحويل هذه النظرية لمعادلات جبرية: حيث كتب سلسلته Arithmetica Infinitorum عام 1647 التي نطق عليها الآن اسم التكاملات المحددة، كما استطاع أن يحدد قيمها. إسحاق بارو وجايمس جرجوري قاما بتطور أبعد: تربيعات لأقواس وحلزونات جبرية. واستطاع كريستيان هيجينز بنجاح عمل تربيعات لبعض مجسمات الثورة.

كذلك، تربيعات الغلو التي قام بحسابها دي سانت فنسنت ودي سارسا أدت إلى استحداث دالة جديدة، اللوغاريتم الطبيعية، الهامة للغاية.

من جانب آخر، التربيع هو مصطلح رياضي تاريخي الذي يعني حساب المنطقة. مشاكل التربيع تعتبر واحدة من المصادر الرئيسية للتحليل الرياضي في اليونان القديمة، بحسب مذهب فيثاغورس، فهم حساب المنطقة في عملية بناء هندسي مربع وجود نفس المنطقة (تربيع).

في هذا الإطار، أصبحت التربيع من سطح الكرة وشريحة القطع المكافئ الذي قام به أرخميدس أعلى إنجاز تحليل العتيقة.

لإثبات هذه النتائج، استعمل ارشميديس طريقة استنفاد إكسوديس.

ومن ناحية أخرى، مع اختراع حساب التفاضل والتكامل ظهرت طريقة عالمية لحساب المساحات. كنتيجة، أصبحت كلمة تربيع كلمة تراثية، وكبديل استعملت عبارة «حساب المتغير الأوحد التكاملي المحدد» بشكل أوسع.

وفي هذا السياق، في أوروبا العصور الوسطى، التربيع كان يعني حساب المساحة بأي طريقة. كما أن طريقة الغير قابلين للقسمة كانت تستعمل. رغم أنها كانت غير دقيقة إلا انها كانت سهلة وقوية. بمساعدتها إستطلع جاليليو جاليله وجيلز دي روبرفال حساب مساحة قوس دوروية، واستطاع جيرجوار دي سانت فنسنت حساب المساحة تحت الغلو (Opus Geometricum, 1647). واستطاع البوس أنطونيو دي ساراسا، تلميذ ومعلق دي سانت فنسنت، ملاحظة علاقة هذه المساحة باللوغاريتمات.

علاوةً على ذلك، ومع ذلك، بالنسبة لبعض الأرقام (مثلًا تاسا أبقراط) التربيع لا يمكن أن يؤديها.

• بناء هندسي مماثل يحل مشكلة التربيع لمتوازي الأضلاع والمثلث.
• مشاكل التربيع لأرقام منحنية أكثر صعوبة بكثير.
• وقد ثبت في القرن 19أن التربيع من الدائرة مع البوصلة وحافة مستقيمة يكون مستحيلا.

كذلك، مساحة الجزء من القطع المكافئ المقطوع منه بخط مستقيم يساوي 4\3 من مساحة المثلث المحتوى بهذا الجزء

إضافةً إلى ذلك، هذا هو السبب سميت عملية التربيع. مثلًا، التربيع من الدائرة، تاسا أبقراط، والتربيع من القطع المكافئ. يجب أن يتم تنفيذ هذا البناء عن طريق البوصلة ومستقيمة. للتربيع مستطيل مع الجانبين أ وب من الضروري لبناء مربع مع الجانب

وعلى صعيد آخر، لهذا الغرض فمن الممكن استخدام الحقيقة التالية: إذا نرسم دائرة من مجموع أ وب كقطر، ثم ارتفاع BH (من نقطة التقاطعهم الي التقاطع مع الدائرة) يساوي متوسطها الهندسي.

قواعد التربيع على أساس معادلات التحريف

طرق للتكاملات الأحادية

وفي هذا السياق، قواعد التربيع مع نقاط متباعدة بالتساوي تملك خاصية ملائمة جدا للتداخل. القاعدة المقابلة مع كل فترة مقسمة تشمل جميع النقط الحالية، حيث يمكن إعادة استخدام تلك القيم التكاملية.

إضافةً إلى ذلك، بأي واحدة من هذه القواعد، يمكننا أن نجعل التقريب أكثر دقة عن طريق تقسيم الفترة [a, b] إلى بعض الفترات الصغيرة وحساب تقريب لكل فترة صغيرة ثم يتم تجميع كل النتائج. وهذا ما يسمى بقاعدة المركبة. مثلًا، يمكن القول قاعدة شبه منحرف المركبة:

علاوةً على ذلك، معادلة التحريف قد تكون خط مستقيم (أي متعدد الحدود من الدرجة الأولى) تمر عبر النقط ((a, f(a) و ((b, f(b). وهذا ما يسمى بقاعدة شبه المنحرف:

إضافةً إلى ذلك، الاستيفاء مع متعددو الحدود المقيمة في نقاط متباعدة بالتساوي في الفترة ما بين [a, b] تعطي صيغ نيوتن-كوتس الذي من امثلاتها قاعدة المستطيل وقاعدة شبه المنحرف. قاعدة سمبسون التي تعتمد علي متعددة حلول من الدرجة الثانية تعد كذلك من صيغ نيوتن-كوتس.

وفي السياق ذاته، أبسط طريقة لهذا النوع هو السماح لمعادلة التحريف بأن تكون معادلة ثابتة (متعدد الحدود من الدرجة صفر) الذي يمر عبر نقطة ((a+b)/2, f((a+b)/2))، وهذا ما يسمى قاعدة نقطة المنتصف أو قاعدة المستطيل.

في هذا الإطار، إذا سمحنا للفترات الفاصلة بين نقاط الاستيفاء بالتفاوت، نجد مجموعة أخرى من صيغ التربيع، مثل صيغ غاوس التربيعية. قاعدة غاوس التربيعية عادة أكثر دقة من قاعدة نيوتن-كوتس، الامر الذي يتطلب نفس العدد من تقيمات الدالة، إذا كان التكامل سلس (أي، إذا كان ذلك مختلف بما فيه الكفاية).تشمل اساليب أخرى للتربيع مع فترات متفاوتة طريقة كلنشو-كيرتس للتربيع (كذلك تسمى طريقة فيرر للتربيع) التي تسمح بالتداخل.

في هذا الإطار، حيث الفترات الثانوية تاخذ شكل [k h, (k+1) h]في حين h = (b−a)/n و k = 0, 1, 2, ..., n−1.

كذلك، قواعد غاوس للتربيع لا تسمح بالتداخل ولكن صيغ غاوس-كرونورد للتربيع ذات الصلة تسمح بذلك.

ومن جهة أخرى، هناك فئة كبيرة من قواعد التربيع يمكن استخلاصها عن طريق إنشاء معادلات التحريف التي هي سهلة التكامل. عادة معادلات التحريف هي متعددة الحدود. في الممارسة العملية، بما أن متعددة الحدودالتي تكون من درجة عالية جدا تميل إلى التأرجح بصورة عشوائية لذلك تستعمل متعددة الحدود ذات درجة منخفضة، عادة الخطية والتربيعية.