تكامل غاوسي

إثبات وجيز

كذلك، بإيجاز، باستعمال الطريقة السابقة، يمكن للمرء من جهة حساب أن،

التعميم الدالي والنوني البعد

ومن ناحية أخرى، لأجل دالة تحليلية f، إذا علم أنها تحقق بعض الروابط السليمة لنموها وبعض معايير أخرى. (هذا ينجح مع بعض الدوال ويفشل مع البعض الآخر. الأمر ناجح مع كثيرات الحدود.) يفهم الأس على عامل تفاضلي بأنه متسلسلة قوى.

علاوةً على ذلك، بما أن التكاملات الدالية ليس لها تعريفات صارمة (أو حتى عددية غير صارمة غالبا) يمكننا تعريف تكامل غاوسي دالي بشكل مشابه للحالة البعدية المحدودة. لا زالت هناك مشكلة، مع أن، هو لانهائي، كذلك المحدد الدالي سيكون لانهائياً كذلك عموماً. ينبغي أخذ الحيطة هنا إذا اعتبرنا فقط النسب:

إضافةً إلى ذلك، في علامة دويت، تبدو المعادلة مطابقة للحالة البعدية المحدودة.

في هذا الإطار، بفرض أن A هي مصفوفة تباين invertible معرفة-موجبا متماثلة (أي قابلة للعكس) n×n. بالتالي،

بالمثل،

ومن جهة أخرى، حيث σ هي تباديل {1,..., 2N} والعامل الإضافي في الطرف الأيمن هو المجموع لجميع أزواج التوافيق {1,..., 2N} لنسخN من A−1.

كذلك،

وعلى صعيد آخر، يفهم التكامل على أنه علىRn. يفاد من هذه الحقيقة في دراسة التوزيع الطبيعي متعدد التباين.

بُعد نوني بحد خطي

إذا كانت A مرة أخرى، مصفوفة متماثلة معرفة موجباً، فإن

تكاملات شبيهة

كثيرات حدود عالية الرتبة

• هذه التكاملات أصبحت تبني مواضيع مثل نظرية الحقل الكمي.
• انظر كذلك
• توزيع طبيعي
• قائمة تكاملات الدوال الأسية
• دالة الخطأ
• إكمال المربع
• هوامش

ومن ناحية أخرى، المتطلب n + p = 0 mod 2 هو بسبب أن التكامل من −∞ إلى 0 يصحبه عامل مقداره (−1)n+p/2 لكل حد، بينما التكامل من 0 إلى +∞ يصاحبه معامل 1/2 لكل حد.

وفي هذا السياق، يمكن حل قوى كثيرات حدود أخرى بسهولة وذلك باستعمال المتسلسلات. مثلًا، تكامل كثيرة الحدود

بالتالي

أخيراً، كما كان متوقعا.

إثبات حريص

حتى نعمل التكامل بالعلاقة

ومن جهة أخرى، للتأكد من التكاملات الثنائية الخاطئة ومساواة التعبيرين، يمكننا البدء بدالة تقريبية:

بما أن

لتكن

من جهة ثانية، بما أن النهيات على عندما تقترب من تعتمد على إشارة ، فإنها تبسط الحساب لاستعمال الحقيقة القائلة بأن هي دالة زوجية، وأنه لذلك، يكون التكامل على جميع الأعداد الحقيقية عبارة عن ضعف التكامل من صفر إلى مالاهناية. أي أنه . بالتالي بالتكامل المربع ، والمتغيرات و لها نفس النهايات. نحصل على:

وعليه

.

بأخذ الجذر التربيعي لـ I(a) نحصل على

من مبرهنة العصر، نحصل على التكامل الغاوسي

إضافةً إلى ذلك، لما كانت الدالة الأسية أكبر من 0 لجميع الأعداد الحقيقية، فإننا نستنتج من ذلك أن التكامل المأخوذ على دائرة المربع ينبغي أن يكون أقل من ، وكذلك التكامل المأخوذ على دائرة محيط المربع يجب أن يكون أكبر من . التكاملات على القرصينيمكن حسابها بسهولة وذلك بالانتقال من الإحداثيات الكارتيزية إلى القطبية:

إضافةً إلى ذلك، باستعمال مبرهنة فورييه، ميكن بيان أن التكامل الثنائي السابق يكافئ تكامل مساحة

ومن جهة أخرى، تم أخذها على مربع ررؤوسه {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} في المستوى xy.

بالتكامل،

ومن جهة أخرى

وعلى صعيد آخر، حيث أن معامل r يأتي من الانتقال إلى الإحداثيات القطبية (r dr dθ هي المقياس العياري في المستوى، معبراً عنه بالإحداثيات القطبية)، وبالتعويض نأخذ s = −r2, so ds = −2r dr.

بدمج هذه نحصل على

علاقته بدلالة غاما

وفي هذا السياق، حيث Γ هي دالة غاما. وهذا يفسر سبب أن مضروب نصف عدد صحيح هو عدد نسبي من مضاعفات . بتعميم أكثر،

التكامل عبارة عن دالة زوجية،

لذا، بعد تبديل المتغيرات ، يتحول هذا إلى تكامل أويلر

• تعميمات
• تكامل الدالة الغاوسية
• يكون تكامل دالة اعتباطية غاوسية هو
• وله صورة بديلة هي

بالإحداثيات الكارتيزية

إضافةً إلى ذلك، كتب جورغاكيس بأن «طريقة أفضل بديلة للطريقة المعتادة المستعملة للتخفيض إلى الإحداثيات القطبية».

أحد الطرق القياسية لحساب التكامل الغاوسي هي

في هذا الإطار، بمقارنة الحسابين السابقين نحصل على التكامل، ولكن ينبغي أخذ الحذر بشأن التكاملات الخاطئة التي يمكن أن تحدث.

وفي السياق ذاته، أو بطريقة أخرى أخرى بواسطة تكامل القشرة (حالة خاصة من التكامل الثنائي في الإحداثيات القطبية)، يمكن بيان أن التكامل يساوي .

كذلك، بالنسبة للدالة e−(x2 + y2) = e−r2 في المستوى R2، يمكن حساب تكاملها بطريقتين:

وفي هذا الصدد، من جهة، بواسطة التكامل الثنائي في نظام الإحداثيات الكارتيزية يكون التكامل مربعاً::