تكامل متعدد

صيغ الاختزال

المجالات البسيطة على R2

كذلك، صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد (وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي).

الدالة هي

وبتطبيق التحويل نحصل على:

مثال (2-ب):

التكامل الثنائي

وعلى صعيد آخر، لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f خلال منطقة A :

حالات خاصة

• في حالة ، فإن تكامل:
• هو تكامل ثنائي ل على . وإذا كانت فان تكامل:
• يكون تكامل ثلاثي ل على .

من جانب آخر، لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)

التعريف الرياضي

من جهة ثانية، هي جزئية من بمعنى أن المستطيلات الجزئية هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا .

وفي هذا الصدد، افترض ان عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في بعداً (من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة للمستوى: , والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.

في هذه الحالة تسمى دالة متكاملة ريمان إذا كانت النهاية

وفي هذا الصدد، حيث، لكل فان النقطة تقع في النفطة هو ناتج الأطوال من الفترات التي جداءها الديكارتي هو

في هذا الإطار، من المعرفة آنفاً. حيث هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة:

افترض أن هي دالة معرفة على المستطيل . اعتبر التجزيئ التالي

وفي السياق ذاته، معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات ذات البعد . إذا امكن تكامل بريمان فان تسمى تكامل ريمان ل على ويكتب:

ما يلي تكامل ريمان في بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا

ومن ناحية أخرى، قم بتقسيم كل فترة إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز .عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة:

وفي السياق ذاته، تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد.

وفي السياق ذاته، بعد أي من المستطيلات الجزئية هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على ، وكذلك فإن بعد أي مجموعة معطاة جزئية من معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية.

الإحداثيات الأسطوانية

ومن جهة أخرى، أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية:

مثال (3-أ):

وفي هذا السياق، يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية.

إضافةً إلى ذلك، هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة.

• مثال (3-ب):
• الدالة هي ، ومجال التكامل هو هذه الأسطوانة:
• تحويل D في إحداثيات أسطوانية هو الآتي:
• بينما تصبح الدالة::
• أخيراً، نطبق صيغة التكامل::
• بتعديل الصيغة نحصل على::

كذلك، ولأن العنصر z لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون ρ dρ dφ dz.

كذلك، في R3 التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في الإحداثيات الأسطوانية؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية:

ومن جهة أخرى، المنطقة هي (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة: (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).

الحل باستخدام التماثل

• من الكافي –في الدوال على Rn – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل.
• مثال (1):
• خذ f(x, y) = 2 sin  x − 3y3 + 5

وفي السياق ذاته، 2  sin  x' و 3y3 كلاهما دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T متماثل حول محور x وكذلك محور y؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.

من جهة ثانية، ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T = x2 + y2 + z2 ≤ 4.

خد الدالة (f(x, y, z) = x exp(y2 + z2

مستعملا خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء:

ومن جهة أخرى، وT = x2 + y2 ≤ 1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر 1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط).

وعلى صعيد آخر، الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x.

من جهة ثانية، إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر).

مثال (2):

التكامل المعتل المتعدد والتكامل المتتابع

إضافةً إلى ذلك، إذا لم يكن التكامل متقارب مطلقاً يجب العناية وعدم خلط مبادئ التكامل المتعدد والتكامل المتتابع، خاصة أن كلاهما يكتب بنفس الرموز. الرمز:

هو تكامل باعتبار x لدالة x التالية:

وهو إعادة ترتيب افتراضي للتكامل المتقارب شرطياً. نكتب:

من جانب آخر، يعني في بعض الحالات تكاملاً متتابعاً وليس تكاملاً ثنائياً حقيقياً. التكامل الخارجي في التكامل المتتابع:

حسب مبرهنة فوبيني Fubini's theorm :

إضافةً إلى ذلك، من ناحية أخرى، التكامل الثنائي يعرف باعتبار المساحة في المستوى xy. إذا وُجد تكامل ثنائي فانه يكون مساوياً لكل من التكاملين المتتابعين على حدا (إما "dy dx" أو"dx dy") ويتم حسابه عادة بحساب أحد التكاملين المتتابعين. ولكن أحياناً يوجد التكاملين المتتابعين إذا وفقط إذا لم يكن هناك تكامل ثنائي، ويكونان في هذه الجالة ذوي قيم متغايرة عن بعضهما كما في المثال:

في هذا الإطار، الذي يمكن استعماله للتأكد من أننا حسبنا التكامل المتعدد وليس المتتابع

ومن ناحية أخرى، يحدث ذلك تحديدا عندما تكون |(f(x,y| دالة محددة، وA وB مجموعتان محددتان.

وعلى صعيد آخر، هذا يعني أنه إذا كان التكامل محدد مطلقاً فان نفس النتيجة التي نحصل عليها بالتكامل المتعدد يمكن الحصول عليها بالتكامل المتتابع،:

محور y

وفي هذا الصدد، إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور y وهي دالة مستمرة؛ فإن (α(y و (β(y (بالتعريف في الفترة [a, b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:

الإحداثيات القطبية

مثال (2-أ):

وفي السياق ذاته، في R2 إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات «معينة» يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية (انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية (P(x,y في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية.

العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية:

إذا تبنينا هذا البديل لذلك

في هذا الإطار، وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x ,y في المثال).

وعلى صعيد آخر، التفاضلات (d(xو (d(y يتم تحويلها عبر محددة المصفوفة الجاكوبية

من جهة ثانية، توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R2 واثنان في R3)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية.

وفي هذا الصدد، المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (مثلًا التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية).

نحصل على الدالة الجديدة .

الخصائص

حيث هو مقياس

وعلى صعيد آخر، التكامل المتعدد له الكثير من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد (الخطية، التبديلية، الرتابة، الخ). بالإضافة لذلك، وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة ودالة قابلة للتكامل على ، القيمة المتوسطة لـ على مجالها يعطى بـ:

الإحداثيات الكروية

• محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية:
• المشتقات dx dy dz تتحول إلى ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.
• أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية:

من جهة ثانية، تم التحصل على الفترة z بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D (وبعدها مباشرة تحويل x2 + y2 إلى ρ2). الدالة الجديدة تصبح أذن ρ2. بتطبيق صيغة التكامل:

من جهة ثانية، والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية، وتصبح فترات T الجديدة هي:

• .
• نحصل بعدها على:
• الآن نطبق التحويل:
• (الفترات الجديدة تصبح ). نحصل على:
• ولأن ، نحصل على:

كذلك، بعض المجالات في R3 لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستعمل التمرير في إحداثيات كروية ، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة:

أمثلة

مثال (4-أ):

وفي السياق ذاته، خذ المجال (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة:

من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة.

علاوةً على ذلك، يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى - موسع في R3 (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).

ومن جهة أخرى، الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية

• مثال (4-ب):D هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) و هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.
• تحويلها سهل جدا:
• بينمانعرف فترة المنطقة T الناتجة عن تحويل D:
• نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل:
• وبالتبسيط نحصل على:
• مثال (4-جـ):
• المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a و هي دالة المراد مكاملتها.

من جانب آخر، بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T هي:

في هذا الإطار، بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.

• ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على:
• .
• بتطبيق صيغة التكامل نحصل على:

وفي هذا السياق، لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح بين 0 وπ.

الدالة هي

بتعريف الفترة يصبح لدينا:

وفي هذا السياق، المجال هو وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة، إذن φ تتراوح بين 0 و 2π, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2

الدالة هي ƒ(x, y) = x والمجال هو نفس مجال المثال (2-د).

مثال (2-د):

المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي:

مثال (2-هـ):

كذلك، المجال هو وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y (أنظر الشكل)، لاحظ ان φ تصف زاوية مستوى، بينما ρ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي:

في هذه الحالة لدينا:

مثال (2-ج):

أخيراً، لنطبق صيغ التكامل:

ومن ناحية أخرى، لاحظ أن φ صالحة في الفترة [0, 2π] بينما ρ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة.

من جانب آخر، والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل (x == ρ cos(φ و (y == ρ sin(φ في العمود الأول باعتبار ρ، وفي العمود الثاني باعتبار φ، لذا فإن التفاضلات dx dy في هذا التحويل تصبح ρ dρ dφ.

وعلى صعيد آخر، ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية:

وفي هذا السياق، من التحليل السابق ل D نعلم فترة ρ (بين 2 و 3) وفترة φ (بين 0 و 2π).إذن لنقم بتغيير الدالة:

مقدمة

علاوةً على ذلك، كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث والمستوى المحتوي لمجاله. (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد.

في هذا الإطار، وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.

وفي هذا السياق، التكامل المتعدد لدالة المعرفة في متغير: على مجال يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب (الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا) يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية:

الحل المباشر

أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل

بعض التطبيقات العملية

تستعمل هذه التكاملات في الكثير من التطبيقات الفيزيائية

ومن جهة أخرى، فس المثال التالي حصلنا على المجال الكهربي بتوزيع للشحنات تم الحصول عليه عن طريق تكامل ثلاثي لدالة متجهة:

في هذا الإطار، في الكهرومغناطيسية، يمكن كتابة معادلات ماكسويل في صورة تكامل ثلاثي لحساب المجالات الكهربية والمغناطيسية الكلية

ومن ناحية أخرى، في الميكانيكا، يحسب عزم القصور الذاتي كتكامل حجم (تكامل ثلاثي) للكثافة الموزونة مع مربع المسافة من المحور:

تغيير المتغيرات

مثال (1-أ)

وفي السياق ذاته، حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ«تغيير المتغيرات» لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة.

الدالة هي ;

محور x

وعلى صعيد آخر، إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور x وهي دالة مستمرة؛ فإن (α(x و (β(x (بالتعريف في الفترة [a, b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:

التكامل المعتل المتعدد

من جانب آخر، في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.

طرق للتكامل

فيما يلي بعض طرق التكامل البسيطة:

وفي هذا الصدد، حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة.

and

لنكامل على D بالنسبة ل x أولا:

الدوال الثابتة

وفي السياق ذاته، في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة . إذا كانت وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R2 فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R3

مثلاً:

و

لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي::

ومن جهة أخرى، يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x، يجب إجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy. لاحظ أننا في البدء نعتبر y ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل.

بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y الحجوم

حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين:

التكامل الثلاثي::

التكامل الثنائي::

للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.

علاوةً على ذلك، للدالة 5=(f(x,y محسوبة في المنطقة D من مستوى xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات::

المجالات البسيطة على R3

إضافةً إلى ذلك، امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما:T هو مجال عمودي على المستوى xy باعتبار الدوال (α (x,y و (β(x,y، إذن:

مثال

إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور yنقوم بالآتي:

في هذا الإطار، هذا المجال عمودي على كلا المحورين xو y. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.

في هذه الحالدة الدالتين هما:

وفي هذا الصدد، (في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة::

كذلك، بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x = 0، عليه فان الفترة هي [a, b] = [0, 1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة:

اعتبر أن المنطقة (انظر الشكل المقابل). احسب:

وسنحصل على نفس النتيجة

التحقق: الحجم = مساحة القاعدة* الارتفاع

وفي هذا السياق، الكرة: وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة 1 في الكرة ذات نفس نصف القطر R:

علاوةً على ذلك، رباعي السطوح(هرم مثلثي ذو 4 وجوه): حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار، كمثال، ال normality على المستوى xy ولمحور x ومثل الدالة الثابتة 1.

التحقق: الحجم = مساحة القاعدة * الارتفاع /3

حساب الحجوم

من جانب آخر، بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام:

وفي هذا الصدد، الأسطوانة: اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر R، والدالة ثابتة بالارتفاع h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي: