تكامل مثلثي

تكامل الجيب الزائدي

يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:

تكامل جيب التمام الزائدي

يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:

حيث أن هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

متسلسلات التقارب

علاوةً على ذلك، هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي

انظر كذلك

وفي هذا السياق، بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة,

تكامل أسي Exponential integral

في هذا الإطار، (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد في هذه العبارة الجبرية).

ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى .

وعلى صعيد آخر، تُسمى الدالة بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

تكامل جيب التمام

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:

حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:

تكامل الجيب

عندما يكون , فأنه يُعرف باسم .

هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:

في هذا الإطار، حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما ; و هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:

من جانب آخر، لاحظ بأن هي دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي كذلك دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

في هذا الإطار، في معالجة الإشارة، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و (Ringing artifacts) عند استعمال (Sinc filter)، وتسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).

كذلك، إن (Gibbs phenomenon) هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.

تفكيك

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)

ومن جهة أخرى، هناك الكثير من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

في هذا الإطار، هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون .

لولب نيلسن

وعلى صعيد آخر، في الرياضيات, لولب نيلسن , و يسمى كذلك باللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام ، هو لولب معادلاته الوسيطية:

ومن ناحية أخرى، هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.