تلاف دركليه

التجميعية

(ƒ * g) * h = ƒ * (g * h)

ε(n) = 1 لو n > 1

كذلك، والواحدات (أو العناصر العكوسة) لهذه الحلقة هي الدوال (ƒ) التي تلتزم بالآتي (ƒ(1) ≠ 0).

وبالتحديد، لالتفاف دركليه الخواص الآتية:

والتوزيعية عند الجمع

• ƒ * (g + h) = ƒ * g + ƒ * h = (g + h) * ƒ
• التبديلية
• ƒ * g = g * ƒ

التعريف

كذلك، إذا كان (ƒ) و(g) دالتين حسابيتين - أي دالتين من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة - يمكن تعريف دالة حسابية جديدة (ƒ * g) تسمى التفاف دركليه لـ(ƒ) و(g) كالآتي:

وعلى صعيد آخر، حيث يمتد المجموع على كل القواسم الموجبة (d) لـ(n)، أو بالتكافؤ يمتد على كل زوج (a) و(b) من الأعداد الطبيعية جداءها (n).

الخواص

• (ƒ + g)(n)= ƒ(n) + g(n)
• التفاف دركليه.
• و الجدائية (ε) تعرف كالآتي:
• ε(n) = 1 لو n = 1

وفي السياق ذاته، تشكل مجموعةُ الدوال الحسابية حلقة تبديلية تسمى «حلقة دركليه» تحت عمليتي الجمع نقطة بنقطة - بمعنى أن (ƒ + g) تعرف بأنها تتبع أمرين:

متسلسلة دركليه

من جانب آخر، لكل (s) تتقارب له كلتا المتسلسلتان على يسار المعادلة، ويجب أن تحقق إحداهم . ويجب الانتبه إلى أن تقارب متسلسلتا اليسار لا يمكن الاستنتاج منه أي تقارب في يمين المعادلة. والمذكور شبيه بمبرهنة الالتفاف إذا نظرنا لمتسلسلة دركليه أنها تحويل فورييه.

وفي هذا الصدد، إذا كان (ƒ) دالة حسابية، ممكن تعريف دالة توليد متسلسلة دركليه لها بالآتي

إضافةً إلى ذلك، لكل عمدة مركب (s) تتقارب له المتسلسلة (إذا وجد). ويكون جداء متسلسلات دركليه مع التفاف دركليه بالمعنى الآتي:

مفاهيم ذات علاقة

في هذا الإطار، يؤدي تقييد قواسم الالتفاف لتحتصر على أو أو فحسب إلى عمليات تبديلية مشابهة لها الكثير من السمات المشتركة مع التفاف دركليه (مثل وجود و الجداء، وتعريف مؤشرات أويلر، وصيغات جدائية من نوعية أويلر على الأعداد الأولية المرتبطة، إلخ).

وجود عنصر محايد

ƒ * ε = ε * ƒ = ƒ

في هذا الإطار، وإذا كانت (ƒ) دالة جدائية تماما يكون (ƒ (g*h) = (ƒ g)*(ƒ h)) حيث يمثل التصاق حرفين جداء نقطة بنقطة. والتفاف دالتين جدائيتين تماما ينتج دالة جدائية لكن لا تكون بالضرورة جدائية تماما.

علاوةً على ذلك، إضافة لذلك، لكل (ƒ) خاضع للآتي (ƒ(1) ≠ 0) يوجد (g) بحيث ƒ * g = ε ويسمى «محايد الدركليه (ƒ)»

في هذا الإطار، وتطبيق التفاف دركليه على دالتين جدائيتين ينتج دالة جدائية ثالثة، ولكل دالة جدائية محايد دركليه جدائي كذلك.