توزيع هندسي

...,1,2,3=x

• ,.
• 2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث
• 3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث
• 4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو
• المراجع

احتمال ولادة ذكر p= 1/3

X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر

وفي السياق ذاته، 1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي

الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد، نظرية الاحتمالات

المحاضرة ياسمينه أبو زيد الفقيه، مقدمة في نظرية الاحتمال

بتعويض المعطيات

وعلى صعيد آخر، أي أنه من كل 100 محاولة لرمي النرد توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.

• دالة التوزيع التراكمية
• حيث أن ...,x=1,2,3
• المنوال

حيث أن , , لجميع قيم x

في هذا الإطار، يستعمل هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .

في هذا الإطار، وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود متوالية هندسية.

نلاحظ أن

في هذا الإطار، أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1

• متوسط التوزيع
• تباين التوزيع
• نعلم أن
• بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على
• وبذلك يكون التباين
• دالة توليد العزوم

مثال

• الحل:
• الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6
• الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6
• يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8

وفي هذا السياق، ليكن لدينا نرد متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟

و حيث أن

في هذا الإطار، احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :

• مثال:
• إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد
• 1- التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .
• 2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.
• 3- ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .
• 4- ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.
• الحل :

• مثال:
• احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.
• الحل:

تعريف

حيث أن ...,1,2,3=x

من جهة ثانية، التوزيع الهندسي هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن الدالة الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون: