ثبات المجال

التعميمات

في هذا الإطار، وهناك كذلك تعميمات لأنواع معينة من الخرائط المستمرة من فضاء باناخ إلى نفسه.

إضافةً إلى ذلك، من الممكن تعميم نظرية ثبات المجال على فضاء متعدد الشعب: حيث و عبارة عن متشعبات طوبولوجية بدون حدود، و هي خريطة مستمرة محليًا واحدًا لواحد (بمعنى أن كل نقطة في لديه جوار مثل هذا التي تقتصر على هذا الجوار تكون متباينة)، إذن هي خريطة مفتوحة (بمعنى أن مفتوح في ، حينما تكون مجموعة فرعية مفتوحة من ) ومتماثلة محليًا .

عواقب

وفي هذا الصدد، إحدى النتائج المهمة لنظرية ثبات المجال تتمثل في أن ، لا يمكن أن تكون متماثلة مع إذا كان في الواقع، وفي هذه الحالة لا توجد مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من يمكن أن تكون متماثلة مع أي مجموعة فرعية مفتوحة من .

ملحوظات

ومن ناحية أخرى، من الأهمية بمكان أن يكون كل من المجال والصورة توجد في الفضاء الإقليدي على نفس البعد. خذ مثلًا الخريطة ، تم تعريفها بواسطة هذه الخريطة متباينة ومتواصلة، والمجال عبارة عن مجموعة فرعية مفتوحة من ، ولكن الصورة ليست مفتوحة في .

من جهة ثانية، وعادة، من أجل التحقق من أن عبارة عن تماثل شكلي، يجب على المرء أن يتحقق من أن كل من ، ودالتها العكسية متصلة ومستمرة؛ تنص النظرية على أنه: إذا كان المجال عبارة عن مجموعة فرعية مفتوحة من، والصورة موجودة كذلك في ، إذن استمرارية هو أمر تلقائي. فضلًا عن ذلك، ترى النظرية أنه إذا كانت مجموعتان فرعيتان و من متماثلتان في الشكل، و مفتوحة ؛ إذن يجب أن تكون مفتوحة كذلك. (لاحظ أن مفتوحة كمجموعة فرعية من وليس فقط في طوبولوجيا الفضاء الفرعي. وانفتاح في طوبولوجيا الفضاء الفرعي هو أمر تلقائي) كلا العبارتين ليس واضحًا على الإطلاق، ولا تكونان صحيحتين بشكل عام إذا تركنا الفضاء الإقليدي.

إضافةً إلى ذلك، والنظرية ليست صحيحة عمومًا في الأبعاد الانهائية. فمثلًا، خذ في الاعتبار فضاء باناخ من كل المتتاليات الحقيقية المحدودة. يُعرِّف كالتحول ، إذن تكون متباينة ومستمرة، والمجال مفتوح في ، إلا أن الصورة ليست كذلك.

وعلى صعيد آخر، من الممكن صياغة استنتاج النظرية بشكل مكافئ على النحو التالي: " عبارة عن خريطة مفتوحة ".

من جانب آخر، مثال آخر أكثر قوة يتمثل في: الخريطة ، والتي تم تعريفها بواسطة ، لأن هنا متباينة ومستمرة، غير أنها لا تقدم حتى تماثلًا لصورتها.

انظر ايضًا

• دالة متباينة.
• دالة مستمرة.
• فضاء باناخ.
• فضاء إقليدس.