جبر خارجي
على سبيل التعريف، في مجال الرياضيات، 'الضرب الخارجي لمتجهات هو تركيب جبري يستعمل في الهندسة لدراسة المساحات والأحجام وكذلك الأبعاد الأعلى المناظرة. الضرب الخارجي للمتجهين و والذي يرمز له بالرمز يسمى bivector ويكمن في فضاء يسمى مربع خارجي والذي هو فضاء المتجه المميز من فضاء المتجهات الأصلي. يمكن تفسير حجمStrictly speaking, the magnitude depends on some additional structure, namely that the vectors be in a Euclidean space. We do not generally assume that this structure is available, except where it is helpful to develop intuition on the subject. كمساحة متوازي الأضلاع ذو الضلعين. كذلك بواسطة الشكل الثلاثي الأبعاد لهذا متوازي الأضلاع يمكن حساب الضرب الإتجاهي لمتجهين. ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.
أمثلة محفزة
المساحات في المستوى
وعلى صعيد آخر، حيث أنه تم استخدام خاصية التوزيع للضرب الخارجي بالخطوة الأولى وبالعملية الاخيره تم استخدام خاصية الإبدال وعلى وجه الخصوص الخاصية . لاحظ أن المعامل بالمعادلة الأخيره هو عبارة عن محدد المصفوفة . نلاحظ كذلك أنه من خاصية الإبدال بالضرب الخارجي لدينا
في هذا الإطار، إذا كان يرمز لمساحة متوازي الأضلاع الذي يمثل المتجهين ضلعين فيه فإن يجب أن تحقق الخصائص التالية:
.
وفي هذا السياق، لنفرض أن و هما متجهين معرفين بدلالة مركباتهما وينتميان لفضاء المتجه . يوجد متوازي أضلاع وحيد معرف بدلالة الضلعين و والذي مساحته معرفه بالمحدد التالي:
أي ان مساحة مربع الوحدة يساوي واحد.
أعتبر الآن الضرب الخارجي للمتجهين و المعرف كالتالي:
و .
ومن جهة أخرى، بإستثناء الخاصية الأخيره فإن الضرب الخارجي لمتجهين يحقق نفس خواص المساحة. أي أن الضرب الخارجي يعمم الخاصية الأخيره بالسماح لمساحة متوازي الأضلاع لتقارن بأي متوازي أضلاع بالمستوى الموازي. بمعنى آخر فإن الضرب الخارجي يحقق صيغة الأساس المستقل لأي مساحة (basis-independent formulation of area).
- لتكن و أعداد حقيقة فإن .
- والتي تمثل مساحة لخط مستقيم تساوي صفر.
- حيث أن تبديل بين و يعكس إتجاه متوازي الأضلاع.
.
من جهة ثانية، تفسر الإشارة الموجبه أو السالبة بأن المتجهين و يتجهان عكس أو مع إتجاه عقارب الساعة كرؤوس لمتوازي الأضلاع المعرف أعلاه. مثل هذه المساحة تعرف بمساحة محددة لمتوازي الأضلاع والقيمة المطلقة لمساحة محددة هي المساحة المعتادة وإشارة المحدد هي إتجاهه.
إضافةً إلى ذلك، لأي عدد حقيقي فإن حيث أن إضافة أي مضاعف ل للمتجه لايؤثر على الأساس ولايؤثر كذلك على ارتفاع متوازي الأضلاع فبالتالي فإنه يحافظ على مساحته.
ضرب تقاطعي وضرب المتجهات الثلاثية
وعلى صعيد آخر، حيث أن تمثل قاعدة الفضاء ثلاثي الأبعاد . معاملات المعادلة أعلاه هي نفسها المعرفة للضرب التقاطعي في ثلاث أبعاد لكن الفرق الوحيد بينما هو أن الضرب الخارجي ليس متجه معتاد وإنما يمثل متجه ثنائي.
و يعرف كالتالي:
كذلك، لأي متجهات في فإن الجبر الخارجي يعرف بضرب تجاهي أو تقاطعي (cross product ) وضرب المتجهات الثلاثية (triple product ). باستخدام متجهة وحدة الأساس فإن الضرب الخارجي للمتجهين
- بتعريف متجه ثالث معرف بالمتجه فإن الضرب الخارجي لثلاث متجهات معرف كما يلي:
- حيث أن تمثل أساس للفضاء ببعد واحد .
- تعاريف وخصائص جبريه
- ملاحظات
- المراجع
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟