جداء مباشر

Rn

إضافة إلى فضاء متجهي مبني وهو ما يسمى بفضاء إقليدي

جداء مباشر للزمر

وعلى صعيد آخر، مثلًا، استعمل نسختين من المجموعة الفريدة من نوعها (حتى التشاكل) من الترتيب 2, C 2: ك {1, a} و {1, b}. ثم C2×C2 = {(1,1), (1,b), (a,1), (a,b)}، مع عنصر التشغيل حسب العنصر. مثلًا، (1,b)*(a,1) = (1*a, b*1) = (a,b)، و(1,b)*(1,b) = (1,b2) = (1,1).

أمثلة:

وهي تعرف على النحو التالي:

كذلك، في نظرية الزمر يمكن تحديد الجداء المباشر لزمرتين (G, ∘) و (H, ∙)، وهو ما يشير إليه g × h. بالنسبة للزمر التي يتم جمعها مع بعضها قد يطلق عليها كذلك المجموع المباشر لزمرتين، وهو ما يشير إليه

ومن ناحية أخرى، مجموعة العناصر الجديدة هي الجداء الديكارتي لمجموعة العناصر 'G و H وهو {(g, h): g ∈ G, h ∈ H}

وفي السياق ذاته، هذا التعبير يعطي مجموعة جديدة. وهي تتألف من مجموعة فرعية عادية من تساوي الشكل إلى g (بالنظر إلى عناصر الشكل (g, 1))، و تساوي الشكل إلى h (تتالف من العناصر (1, h)).

ومن ناحية أخرى، كما يحمل العكس كذلك نظرية التقدير التالية: إذا كانت المجموعة K تحتوي على مجموعتين فرعيتين عاديتين G و H، بحيث أن K= GH و تقاطع G و H يحتوي فقط على المطابقة، ثم K هو 'تشاكل إلىG× H. تخفيف هذه الشروط، التي تتطلب مجموعة فرعية واحدة فقط لتكون طبيعية، ويعطي جداء نصف مباشر.

وفي هذا الصدد، في حاصل الضرب المباشر، نحصل على بعض تشاكل الزمر الحرة: خرائط الإسقاط: ودعا تنسيق وظائف.

Zn

• على هذه العناصر وضعت عملية وحددت عناصرها وهي:
• (g, h) × (g, h' ) = (g ∘ g, h ∙ h)
• (ملاحظة (G, ∘) قد تكون هي نفسها (H, ∙).)

علاوةً على ذلك، كذلك، يتم تحديد كل الزمر F للجداء المباشر تماما من خلال وظائف المكون . بالنسبة إلى أي مجموعة ( G , ∘) وأي عدد صحيح n ≥ 0، فإن التطبيق المتعدد للجداء المباشر يعطي مجموعة الكل n - زوج مرتب Gn (لمجموعة n = 0 المجموعة التافهة).

من جانب آخر، هذا التعبير يعطي مجموعة جديدة. ولها مجموعة فرعية عادية تشاكل إلى G (تعطى من قبل عناصر النموذج (g , 1)، وإسومورفيك إلى H (تضم العناصر (1, h)).

الجداء المباشرة للفضاء الحلقي

إضافةً إلى ذلك، مثلًا، نعتبر و ، ما لا نهاية لها جداء مباشر وحاصل مباشر من الأعداد الحقيقية. التسلسل فقط مع عدد منتهي من غير صفر في Y مثلًا، (1,0,0,0، ...) هو في Y، ولكن (1,1,1,1، ...) ليس كذلك.

إضافةً إلى ذلك، الحاصل المباشر والجداء المباشر يختلفان فقط في الأرقام القياسية اللانهائية، حيث يكون لجميع عناصر الحاصل المباشر صفر ولكن بالنسبة لعدد منتهي من المدخلات وهي مزدوجة بمعنى نظرية الأصناف: فالحاصل المباشر هو المتدخل في الجداء، في حين أن الجداء المباشر هو المنتج.

ملاحظة إن الجداء المباشر لمؤشر محدود مطابق للحاصل المباشر .

ومن ناحية أخرى، كل من هذين التسلسلين في الجداء المباشر X، في الواقع. وY هي مجموعة فرعية مناسبة من X (يعني، Y ⊂ X).

إضافةً إلى ذلك، الجداء المباشر للفضاء الحلقي (عدم الخلط مع الجداء الموتر) مشابه جدا لواحدة من المجموعات المحددة أعلاه، وذلك باستخدام الجداء الديكارتي مع إجراء تشغيل الإضافة ومعاملات الضرب تتوزع أكثر من جميع المكونات. ابتداء من R نحصل على الفضاء الإقليدي Rn، النموذج الحقيقي للفضاء المتجهي للأبعاد الحقيقية فالجداء المباشر لRm و Rn هو Rm+n.

أمثلة

في هذا الإطار، إذا كنا نفكر في كحلقة من الأعداد الحقيقية فإن الجداء المباشر مرة أخرى يتكون من كمجموعة أساسية. بنية الحلقة هي حلقة تتكون من الجمع المعرف ب , والضرب المعرف ب

من جانب آخر، إذا كنا نفكر في كمجموعة من الأعداد الحقيقية، فإن الجداء المباشر هو بالضبط جداء ديكارتي

كذلك، ومع ذلك، إذا كنا نفكر في كحقل من الأعداد الحقيقية فإن الجداء المباشر غير موجود - وببساطة تعريف الجمع والضرب وبخلاف الأمثلة المذكورة أعلاه لن يؤدي إلى حقل لأن العنصر ليس لديه مقلوب.

علاوةً على ذلك، وبطريقة مماثلة، يمكننا أن نتحدث عن الجداء المنتهي للعديد من البنيات الجبرية، مثلا ويمكننا كذلك أن نتحدث عن الجداء غير المنتهي، مثلا .

ومن ناحية أخرى، إذا كنا نفكر في كزمرة من الأعداد الحقيقية مع الجمع، فإن الجداء المباشر لا يزال يتكون من كمجموعة أساسية. الفرق بين هذا والمثال السابق هو أن هي الآن زمرة. ويتعين علينا كذلك أن نفكر في كيفية جمع عناصرها. ويتم ذلك بهذا الشكل.