جسيم في حلقة

وبما أن مقدار العدد المركب معرف بالعلاقة

• فنحصل على:
• بذلك نحصل على قيمة .
• بذلك نكون قد توصلنا إلى الدالة الموجية لجسيم في الحلقة:
• حيث هو نصف قطر الحلقة الذي يستقر فيه الجسيم.
• كما حصلنا أعلاه على الطاقات E التي يمكن للجسيم امتلاكها وهي تعتمد على حيث M

في هذا الإطار، لا تأخذ سوى أعدادا صحيحة، وهذ هو معنى كمومية الطاقة، فالطاقة التي يمكن للجسيم امتلاكها تكون منفصلة descret.

هزاز توافقي

هزاز توافقي (ميكانيكا الكم)

جسيم في صندوق

الانفطار

وفي السياق ذاته، بين حل مسألة حركة جسيم في حلقة جهدية أن طاقة الجسيم تتخذ مقادير كمومية منفصلة، وبجانب تلك النتيجة الهامة يشير المثال إلى تواجد صفة افطار أو انشقاق مستويات الطاقة. فحل مسألة الجسيم في حلقة أتي بقيم ل ذات إشارة موجبة وذات إشارة سالبة، أي تمثل حالتين مختلفتين حيث تمثل نفس الطاقة. هذا معناه أنه توجد لكل مستوي طاقة حالتين، ويسمى ذلك أن النظام منفطر انفطارا ثنائيا.

إضافةً إلى ذلك، ونشاهد ظاهرة انفطار مستويات طاقة الإلكترون في الذرات عند تعرض الذرة إلى مجال مغناطيسي خارجي شديد كما في تأثير زيمان، أو تعرض الذرة إلى مجال كهربائي خارجي شديد مثلما في تأثير شتارك. وتظهر عمليا في هيئة انشقاق خطوط الطيف لها.

r نصف قطر الحلقة الجهدية

الدالة الموجية للجسيم.

توحيد الدالة الموجية للزخم الزاوي

• وهي نتيجة تتفق مع الميكانيكا الكلاسيكية.
• انظر كذلك
• معادلة شرودنجر
• جهد يوكاوا
• ميكانيكا الكم

• للحصول على قيمة الدالة الموجية نضرب الدالة الموجية في مرافقها
• ، ونأخذ الجذر التربيعي منها.
• نحصل على ثابت التوحيد بإجراء تكامل المعادلة:
• بذلك نحصل على الدالة الموجية الموحدة:

وفي هذا السياق، للحصول على القيم للزخم الزاوي نستعمل عملية التوحيد وهي أحد شروط حل الدالة الموجية لجسيم. والتوحيد معناه أن الجسيم موجود فعلا في الحلقة.

من جانب آخر، وتتحقق المعادلة عندما يكون ثابت التوحيد عددا حقيقيا (أي عندما يكون طور الموجة مساويا للصفر، ).

إضافةً إلى ذلك، وبالتعويض عنها في معادلة مربع الدالة الموجية أعلاه، نحصل على الكثافة الاحتمالية:

الصياغة الرياضية

وبالتعويض عنها في معادلة شرودنجر نحصل على:

من جانب آخر، ولكي نصل إلى حل واضح المعنى لا بد من اختيار شرط هام، وهو أنه بعد إتمام دورة كاملة في الحلقة لابد وأن تتخذ الدالة الموجية قيمتها الابتدائية ثانيا:

في هذا الإطار، والآن نقوم بتوحيد الدالة الموجية، عن طريق إجراء تكامل على مربع مقدار الدالة الموجية بين و (التوحيد معناه أن الدالة الموجية موجودة في الحلقة بنسبة 100%).

وهذا يؤدي إلى الشرط التالي:

كذلك، ويمكن كتابة معامل هاميلتون في نظام الإحداثيات الكروية في مسألتنا كالآتي:

فتنتج معادلة شرودنجر التي نريد حلها:

من جهة ثانية، وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية، وفيها طاقة E الجسيم، وحل المعادلة يعطينا الدالة الموجية للجسيم:

في هذا الإطار، ويمكن كتابة الدالة الموجية ب صيغة أويلر التي تحول الدالة الأسية المركبة إلى دالة مثلثية بالطريقة التالية:

وفي هذا السياق، لكي نحصل عل الدوال الموجية وومستويات الطاقة لجسيم في الحلقة نستعمل معادلة شرودنغر في الحالة المستقرة (التي لا تعتمد على الزمن) في الجهد الموجود. ويمثل الجهد بالعلاقة:

كذلك، وهذا الشرط يتحقق عندما تكون عددا صحيحا. ونحصل على الطاقات التي يمكن للجسيم امتلاكها في الحلقة عن طريق إعادة تشكيل المعادلة: