جسيم في صندوق

جسيم ضمن كمون دائري متناظر

• هاملتوني (ميكانيكا الكم)
• هزاز توافقي (ميكانيكا الكم)
• حاجز كولوم
• جهد يوكاوا
• ميكانيكا الكم
• هزاز توافقي
• جسيم في حلقة

الجسيم داخل الصندوق

وفي هذا الصدد، تعادل معادلة شرودنجر الساكنة (تهمل الزمن) في الصندوق معادلة جسيم حر، وهي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية:

طاقة الجسيم

علاوةً على ذلك، نظرا لأن جسيم داخل صندوق جهدي لا بد وأن يتخد حالات محددة معتمدة على العدد الصحيح فإنه يتخذ فقط كمات طاقة محددة منفصلة معتمدة على . وينطبق ذلك كذلك في حالة أن يكون جهد الصندوق محدودا وليس لانهائيا، وتترتب عليه خواص خاصة بتركيب الذرة. وعلى أساس معالجة المسألة السابق فيمكن صياغة طاقة الجسيم بالاعتماد على العدد :

• حيث
• و
• : ثابت بلانك

تكوين الصندوق وشروطه

من جهة ثانية، ونفترض عدم وجود قوى داخل الصندوق تؤثر على الجسيم (مثل قوة الجاذبية أو مجال كهرومغناطيسي)، وأن عرض الصندوق . وبما أن الجهد خارج الصندوق كبير لا نهائي فإنه ليس في استطاعة الجسيم مغادرة الصندوق. وبناء على ذلك سيتحرك الجسيم في الصندوق بسرعة منتظمة وينعكس على الجدران بدون أن يفقد أي جزء من طاقتة. فإذا قمنا بتمثيل السرعة بمتجهة السرعة بحيث يكون قيمتها المطلقة ثابتة.

ويمثل هذا التمثيل نموذج مبسط «صندوق جهدي».

ومن جهة أخرى، يتكون النظام من نموذج بئر أحادي الأبعاد ويوجد به جسيم حر الحركة، مثل جزيئ غاز محصور بين جهدين كبيرين يمكنه التحرك بينهما. وفي الشكل يمثل الجهدان الكبيران بحائطين، أحدهما على مسافة من المحور السيني والآخر عند المسافة والحائطان متوازيان.

دالة الحالة واحتمال وجود الجسيم

إضافةً إلى ذلك، والأغرب من ذلك لنظرية الكم، أنه يوجد احتمال نفاذ الجسيم إلى خارج البئر الجهدي طبقا لظاهرة النفق الكمومي حيث يكون جهد البئر محدودا وليس نهائيا.

كذلك، تصف فيزياء الكم الجسيم بدالة موجية بسيطة، ويترتب على ذلك أن الجسيم يتخذ داخل الصندوق أوضاعا بحيث يكون عرض الصندوق مساويا لمضاعفات نصف طول موجتها حيث أن انعكاس الموجة على نفسها يتم على الجدارين مكونة موجة ساكنة. فإذا كانت

إضافةً إلى ذلك، هذا التبسيط يتناول حركة الإلكترون في جهد نواة الذرة حيث يعمل التآثر الكهرومغناطيسي طبقا لقانون كولوم على جذب الإلكترون السالب الشحنة ليدور في غلاف حول النواة الموجبة الشحنة، ويبقى مرتبط بها.

علاوةً على ذلك، L ليست مساوية لعدد صحيح من نصف طول الموجة فإن الموجة تمحو نفسها وتتلاشى بسبب التداخل الهدام. وتلك هي إحدى نتائج ميكانيكا الكم، التي تصف حركة الجسيم داخل صندوق : الجسيم داخل صندوق يتخذ مستويات طاقة معينة فقط، تعتمد على عدد كم رئيسي .

من جهة ثانية، والخاصية الثانية الهامة لنظرية الكم تخص باحتمال وجود الجسيم في نقطة معينة في الصندوق. واحتمال وجود الجسيم في الصندوق يقدر ب 1، وخارج الصندوق صفر 0، حيث أن الجسيم لا يمكن أن يخرج من الصندوق. ومع ذلك فإن احتمال وجود الجسيم في مكان ما داخل الصندوق مختلفة، وتعتمد على حالة الجسيم (سرعته).

وباختيار الدالة الموجية

• داخل الصندوق، نحصل على:
• ويمكن كتابة هذه المعادلة بمساعدة الدوال الأسية المركبة :
• (.
• وبالتعويض بهذا في معادلة شرودنجر واجراء التفاضل بالنسبة للمكان، يكون :
• .
• بذلك نحصل على طاقة الجسيم واعتمادها على العدد الموجي
• :
• العدد الموجي هو عدد الأطوال الموجية في وحدة طول.

الشرط الثاني

.

من جانب آخر، وبناء على ذلك فلا بد أن تتخذ قيمة العدد الموجي قيم ذاتية منفصلة descrete values.

كذلك، ولكي يمكن حل تلك المعادلة فلا بد أن تكون عددا مضاعفا ل (حيث أن الحل بوضع المطال يعني عدم وجود الموجة على الإطلاق)، وبهذا يصبح:

بواسطة الشرط الثاني نحصل على الدالة الموجية داخل الصندوق :

وبالنسبة للقيم السالبة

في هذا الإطار، ولا تؤدي الدوال الموجية ذات أعداد صحيحة سالبة إلى وجود مستويات للطاقة جديدة. لذلك نقتصر على الحلول التي تعطي .

من جهة ثانية، وكما رأينا فإن الطاقة تعتمد على العدد الموجي ، وبالتعويض عنه نحصل على :

تكون الدالة الموجية للجسيم هي نفسها كما في حالة

انظر كذلك

معادلة شرودنغر

الموجبة ماعدا اختلافهما في الإشارة، أي أن :

إضافةً إلى ذلك، ونظرا لأن تتخذ أعدادا صحيحة فقط، فينطبق ذلك كذلك على الطاقة التي تتخذ هي الأخرى قيما محددة. أي أن طاقة الجسيم تكون كمومية، وبالتالي تكون مستويات الطاقة منفصلة.

خارج الصندوق، الحالة المستمرة

في هذا الإطار، ونظرا لوجوب أن تكون الدالة الموجية مستمرة في كل مكان، فلا بد من اختيار شروط للدالة الموجية داخل الصندوق، وهو أن تكون مساوية للصفر عند الجدارين ( =0) :

كذلك، خارج الصندوق يجب أن تكون الدالة الموجية للجسيم مساوية للصفر حيث أن جهد الصندوق كبير لانهائي، أي أن:

و .

بمساعدة الشرط الثاني نحصل على أن تكون

علاوةً على ذلك، عندما تكون تصبح الدالة الموجية مساوية للصفر في كل مكان ولا يمكن توحيد الدالة، وعلى ذلك فيكون الحل غير مسموح به.

عددا صحيحا.

الشرط الأول

من جانب آخر، ولكي تكون المعادلة قابلة للحل فلا بد من وضع ، وبذلك نبسط الدالة الموجية إلى الصيغة:

.

.

تنتج من الشرط الأول الدالة الموجية داخل الصندوق :

: كتلة الجسيم

وفي هذا السياق، يمكن استخلاص النتائج الآتية من المعادلة السابقة، والتي تصف خواص الجسيم المحصور في صندوق جهدي :

• تتناسب طاقة الجسيم (الإلكترون) مع مربع عدد الكم الرئيسي
• كلما زاد عرض الصندوق كلما انخفضت طاقة الجسيم
• كلما زاد عرض الصندوق كلما انخفض الفرق بين مستويين للطاقة متتابعين و.
• وتنطبق تلك النتائج كذلك على آبار جهدية (صناديق جهدية) أخرى.

: عرض الصندوق.

وفي هذا الصدد، فإذا أثير الجسيم - مثلما يحدث للإلكترون عند إثارته في الذرة عن طريق امتصاصه لطاقة من الخارج - فإن الإلكترون يقفز من مستوى الطاقة الموجود فيه إلى مستوى طاقة أعلى، فيما يسمى قفزة كمومية. وعندما يقفز الإلكترون من مستوى طاقة عالي إلى مستوى طاقة منخفض فإنه يطلق الطاقة الزائدة في شكل فوتون.

معادلات شرودنجر تعطي طاقات منفصلة

ومن ناحية أخرى، معادلة شرودنجر في حالة مع تمثيل الجسيم بدالة موجية ( تعتمد على المكان والزمن (اقرأ ازدواجية موجة-جسيم):

كذلك، سنقوم في التالي بحل معادلة شرودنجر التي لا تعتمد على الزمن (حلول القيم الذاتية لمعامل هاميلتون ومسألة تفسير الطيف).

إضافةً إلى ذلك، تعطي هذه المعادلة الطاقة الكلية لجسيم محجوز في صندوق جهدي له طاقة وضع تعتمد على (V(x وطاقة حركية تعتمد على كتلته وسرعته.

• نعوض عن الدالة الموجية للجسيم :
• في معادلة شرودنجر مع اهمال الزمن (حالة سكون)، فنحصل على:
• أي أن طاقة الجسيم الكلية تسوي طاقته الحركية حيث أن طاقة الوضع مساوية للصفر.

كذلك، يمكن كتابة معامل هاميلتون لمسألة الطاقة الكلية لجسيم يتحرك في نظام أحادي المقاييس (الاتجاه فقط) حيث يعتبر المعامل موضع الجسيم (بصرف النظر عن تغير الزمن) :