جيب زائدي

;

.

الخصائص العامة

وفي هذا الصدد، sinh هي دالة متصلة (مستمرة)، كما أنها دالة تامة الشكل؛ يعني أنها قابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية من المشتقات، أما مشتقتها الأولى فهي دالة جيب التمام الزائدي التي يُعبر عنها بـ cosh.

من جهة ثانية، عند القيام بعمليات تطبيقية لـ sinh على المجال ℝ فإن الدالة تكون رتيبة، بينما تكون مقعرة على المجال في حين تكون محدبة على .

sinh هي دالة زوجية.

وفي السياق ذاته، المشتق العكسي لـ sinh هو cosh + C، حيث أن C عدد ثابت لا متغير.

تعريف

• يُرمز لدالة الجيب الزائدي بـ sinh (أو sh) وهي معرفة بالعلاقة التالية:
• حيث هو الأس المركب.
• دالة الجيب الزائدي هي دالة فردية.
• دالة الجيب الزائدية هي نظيرة دالة جيب الزاوية في الهندسة الزائدية.
• خصائص

الأصفار

الدالة Sinh لها جذر حقيقي وجذور خيالية محضة حيث: .

القيم

;

هذه بعض قيم دالة Sinh:

دالة الجيب الزائدي في متسلسلة تايلور

.

في متسلسلة تايلور، يُصبح تعبير دالة Sinh على الشكل التالي:

;

من جانب آخر، استخدام الصيغ المثلثية مثل يُمَكِّنُ من الحصول على علاقات أكثر تفصيلا، وذلك على غرار:

.

;

الخصائص المثلثية

إضافةً إلى ذلك، من خلال تعاريف الدالتين (جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي)، يًمكن استنتاج المتساويات التالية:

وفي هذا السياق، إذا كانت الإحداثيات ((cos(t), sin(t)) تُحدد دائرة، فإن نفس الإحداثيات ((cos(t)، sin(t)) تُحددان الجزء الموجب من القطع الزائد، إذن لكل فإن:

• .
• من ناحية أخرى، لكل :
• ;
• ;

من جانب آخر، هذه المتساويات هي مماثلة لصيغة أويلر في علم المثلثات الكلاسيكية.

,

من جانب آخر، وبما أن و هي دوال تنتمي إلى اللوغاريتم العقدي والجذر التربيعي العقدي، إذن إذا كانت فإن:

الدالة العكسية

وعلى صعيد آخر، الدالة sinh تقبل دالة عكسية يُرمز لها بـ arsinh (أو argsinh أو argsh أو في بعض الأحيان sinh)، وتُسمى الدالة العكسية لدالة الجيب الزائدي، وهي دالة متعددة الفروع، لكن لها فرع رئيسي وعادة ما يكون معرف على: و :

بحيث:

أو

• البناء الهندسي لدالة sinh في ℝ على ℝ يُحقق إذن المتساوية التالية:
• .
• انظر كذلك
• دالة جيب التمام الزائدية
• دالة الظل الزائدية