حافة (هندسة)

مصطلحات بديلة

ومن ناحية أخرى، في نظرية متعددات السطوح المحدبة عالية الأبعاد، فإن وجه أو جانب متعدد السطوح الذي له عدد (ن) من الأبعاد يكون في مستوى يقع في عدد (ن - 1) من الأبعاد، والأضلاع تكون في مستوى له (ن - 2) من الأبعاد، وتقع القمة أو الرأس «أ» في المستوى الذي له (ن - 3) من الأبعاد الأبعاد. وهكذا، فإن حافات المضلع تكون هي نفسها جوانبه، وحافات متعدد السطوح المحدب ثلاثي الأبعاد هي نفسها أضلاعه، وحافات متعدد السطوح رباعي الأبعاد هي قممه.

انظر أيضاً

• وجه (هندسة رياضية)
• نقطة هندسية
• ضلع قطري
• عامد

V – E + F = 2

حيث V هو عدد الرؤوس، و E هو عدد الأضلاع، و F هو عدد الوجوه.

وفي هذا السياق، تُعرف هذه المعادلة بصيغة أويلر لمتعدد السطوح. وبالتالي فإن عدد الأضلاع أقل بمقدار 2 من مجموع أعداد الرؤوس والوجوه معًا. مثلًا، يحتوي المكعب على 8 رؤوس، و 6 أوجه، وبالتالي فإن للمكعب 12 حافة.

عدد الحافات في متعدد السطوح

في أي سطح محدب متعدد السطوح له خاصية أويلر

الالتقاء مع الوجوه الأخرى

وفي هذا الصدد، في أي مضلع تلتقي حافتان عند كل رأس، وبشكل أكثر شمولًا بحسب نظرية بالينسكي، فإن عدد (ن) من الحافات على الأقل تلتقي عند كل رأس من رؤوس متعدد الجوانب المحدب نوني الأبعاد (الذي تقع وجوهه في عدد ن من المستويات). وبالمثل، في متعدد السطوح، يلتقي وجهان يكون كل منهما في مستوى ثنائي الأبعاد بالضبط عند كل حافة. بينما في الأشكال المتعددة الأبعاد الأعلى تلتقي وجوه ثنائية الأبعاد أو أكثر عند كل حافة.

شطب الحافات

وفي هذا السياق، يتم تمثيل متعدد السطوح بحسب طريقة تدوين كونواي بالحرف ج. ومن ثم سيكون متعدد الوجوه مع الحافات «ح» شكلًا مشطوفًا يحتوي على عدد «2ح» رؤوس جديدة، و «3ح» حافات جديدة، و «ح» وجوه سداسية جديدة.

وعلى صعيد آخر، شطب أو اقتطاع الحافة هو عامل طوبولوجي يعدل متعدد السطوح إلى آخر، ويكون في عمله مشابها لعملية التمدد، بحيث تتحرك الوجوه بعيدًا عن بعضها البعض وللخارج، إلا أنها تحافظ كذلك على الرؤوس الأصلية للشكل متعدد السطوح. بالنسبة إلى متعددات الوجوه، تضيف هذه العملية وجهًا سداسيًا جديدًا بدلاً من كل حافة أصلية.