حدسية abc

rad(17) = 17

.

ومن ناحية أخرى، q > 1.01 أو q > 1.001 أو حتى q > 1.0001 الخ. بشكل خاص، إذا كان الحدسية صحيحة فلا بد من وجود ثلاثية (a, b, c) تحقق أقصى جودة ممكنة q(a, b, c) .

وعلى صعيد آخر، ...q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565

وفي السياق ذاته، إذا كان a + b = c فإنه لكل عدد حقيقي موجب ε يوجد ثابت Kε بحيث أنه لكل ثلاثيات a و b و c من الأعداد الصحيحة الأولية نسبياً:

من جهة ثانية، إذا كانت a و b و c أعداداً صحيحة موجبة أولية نسبياً بحيث أن a + b = c ، يتضح أن c < rad(abc). تتعامل حدسية abc مع الاستثناءات على وجه التحديد، تنص على ما يلي:

rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6

وفي هذا الصدد، تتضمن الصيغة المكافئة الثالثة للحدسية الجودة q(a, b, c) للثلاثية (a, b, c) والتي يتم تعريفها على أنها:

.

مثلًا:

ومن ناحية أخرى، ...q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820

وفي هذا الصدد، في حين أنه من المعروف أن هناك عددًا لا نهائيًا من الثلاثيات (a, b, c) من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً بحيث a + b = c بحيث أن q(a, b, c) > 1 ، تتنبأ الحدسية أن عدداً محدوداً فقط من هذه الثلاثيات لهم

إضافةً إلى ذلك، إذا كان a + b = c فإنه لكل عدد حقيقي موجب ε يوجد عدد محدود فقط من ثلاثيات a و b و c من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً بحيث أن:

في هذا الإطار، لكل عدد حقيقي موجب ε ، لا يوجد سوى عدد محدود من ثلاثيات (a, b, c) من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً بحيث a + b = c بحيث أن q(a, b, c) > 1 + ε.

وبصيغة مكافئة:

rad(1000000) = rad(26 ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10

وفي هذا السياق، إذا كانت (a, b, c) ثلاثية نموذجية من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً وكان a + b = c فإنه سيكون c < rad(abc)، أي أن q(a, b, c) < 1 عبارة عن ثلاثيات عندما q > 1 كما في المثال الثاني خاصة إلى حد ما، فهي تتكون من أرقام قابلة للقسمة بواسطة قوى عالية لأعداد أولية صغيرة. الصيغة الثالثة هي:

صياغة الحدسية

في هذا الإطار، بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، فإن جذري n ، المشار إليه بـ rad (n)، هو حاصل ضرب العوامل الأولية المتفردة لـ n. مثلًا

قبل أن نذكر الحدسية، سوف نعرف مفهوم الجذر لعدد صحيح:

rad(16) = rad(24) = rad(2) = 2

أمثلة على ثلاثيات جذورها صغيرة

نحن ندعي الآن ان b تقبل القسمة على p2:

وفي هذا السياق، الشرط بأن ε > 0 ضروري حيث يوجد عدد لانهائي من ثلاثيات a و b و c بحيث أن c > rad(abc). مثلًا لتكن

وفي السياق ذاته، من خلال استبدال الأس 6n بأسس أخرى فإن ذلك يجبر b على الحصول على عوامل مربعة أكبر، يمكن جعل النسبة بين الجذر و c صغيرة بشكل عشوائي، على وجه التحديد، لتكن p > 2 عدداً أولياً واعتبر أن

• والآن بحساب مشابه لما ورد أعلاه فإننا نحصل على
• انظر كذلك
• مسائل غير محلولة في الرياضيات
• ملاحظات
• مراجع

ومن ناحية أخرى، تستعمل الخطوة الأخيرة حقيقة أن p2 تقسم 2p(p−1) − 1. هذا يتبع من نظرية فيرما الصغرى، والتي توضح أنه إذا كان p > 2 وكان 2p−1 = pk + 1 حيث k عدد صحيح. وبرفع كلا الطرفين للقوة p بالتالي نحصل على 2p(p−1) = p2(...) + 1.

باستخدام هذه الحقيقة نحسب:

العدد الصحيح b يقبل القسمة على 9 :