خط مقارب

خطوط التقارب الرأسية

ويكون للمنحنى خط تقارب عند .

ومن ناحية أخرى، مثلاً، إذا كانت فإن البسط يقترب من 1، والمقام يقترب من الصفر عندما تقترب x من 1. وبالتالي فإن

إضافةً إلى ذلك، سواء كانت الدالة معرفة أو غير معرفة عند ، فإن قيمتها عند النقطة لن تؤثر في خط التقارب، مثلاً الدالة:

في هذا الإطار، يقال أن الخط خط تقارب رأسي للدالة إذا تحقق أحد الشرطين التاليين على الأقل:

ومن ناحية أخرى، لها نهاية عندما ، ومع ذلك فإن لها خط تقارب رأسي عند ، ذلك مع أن مما يعني أن رسم الدالة يتقاطع مع خط التقارب الرأسي تقاطعًا وحيدًا عند النقطة (0,5)، ومن الجدير بالذكر أن رسم أي دالة لا يمكن أن يتقاطع مع محور تقارب رأسي في أكثر من نقطة واحدة.

خطوط التقارب الأفقية

علاوةً على ذلك، خطوط التقارب الأفقية هي خطوط أفقية يقترب منها رسم الدالة عندما ، يقال أن الخط الأفقي هو خط تقارب أفقي للدالة إذا كانت

خطوط التقارب للدوال الكسرية

إضافةً إلى ذلك، تحدد درجة البسط ودرجة المقام إذا ما كانت هنالك خطوط تقارب رأسية أو أفقية أم لا، الجدول التالي يوضح الحالات المحتملة، مع مراعاة أن المقصود بدرجة البسط هو أعلى أس في كثيرة الحدود الموجودة بالبسط، ودرجة المقام هو أعلى أس في كثيرة الحدود الموجودة بالمقام.

من جانب آخر، أي دالة كسرية لها، على الأكثر، خط تقارب أفقي وحيد أو خط تقارب مائل، وقد يكون لها عدة خطوط تقارب رأسية.

أو

دالة قوس الظل، مثلًا، تحقق ما يلي:

كذلك، الدالة (ƒ(x، في الحالة الأولى، لها خط تقارب عند عندما تؤول x إلى ، ولها خط تقارب، في الحالة الثانية، عند عندما تئول x إلى .

ومنها

في هذا الإطار، وبالتالي فإن هو خط التقارب للدالة (ƒ(x عندما تؤول x إلى ، إذا نظرنا للدالة كمثال آخر فإن

المنحنيات المقاربة

وعلى صعيد آخر، يكون منحنى الدالة مقاربًا لمنحنى الدالة  عند  إذا تحقق ما يلي:

ومنها

من جانب آخر، وهذه نهاية غير موجودة؛ أي أن الدالة ليس لها خط تقارب عندما تؤول x إلى .

حساب خطوط التقارب المائلة

علاوةً على ذلك، خط التقارب للدالة هو خط على الصورة y=mx+n، تحسب قيمة أولاً من العلاقة

وفي هذا السياق، حيث إما تساوي أو تساوي بحسب الحالة، ويفضل التعامل مع كل حالة على حداها. إذا كانت النهاية غير موجود فهذا يعني عدم وجود خط تقارب مائل بهذا الاتجاه.

أو

ومن جهة أخرى، الخط y == mx + n، في الحالة الأولى، خط تقارب مائل للدالة (ƒ(x عندما تئول x إلى +∞، والخط y == mx + n، في الحالة الثانية، خط تقارب مائل للدالة (ƒ(x عندما x تئول إلى −∞.

إضافةً إلى ذلك، مثلاً الدالة ƒ(x) = x−1/x لها خط تقارب مائل، هو الخط y = x أي أن (m = 1, n = 0) (انظر الرسم إلى اليسار). وبتطبيق النهاية المذكورة أعلاه

مما يوضح أن الفرق بين الخط والدالة عند أو يؤول إلى الصفر.

بعد ذلك يمكن تحديد قيمة n حيث

وفي هذا السياق، حيث أن a ينبغي أن تكون ذات القيمة المستعملة من قبل. إذا لم تكن النهاية موجودة فإن هذا يعني أنه لا يوجد خط تقارب للدالة في هذا الاتجاه، حتى لو كانت النهاية الخاصة بتعريف قيمة m موجودة، أما إذا كانت موجودة فإن y = mx + n يكون خط تقارب مائل للدالة (ƒ(x عندما تئول x إلى a.

إضافةً إلى ذلك، على سيل المثال، تعين قيمة m وn للدالة ƒ(x) = (2x2 + 3x + 1)/x كالتالي

خطوط تقارب الدوال

المستقيمات المقاربة

في هذا الإطار، خطوط تقارب المنحنيات التي على الصورة تظهر كثيراً في حساب التفاضل والتكامل، ويمكن حسابها باستخدام النهايات، وهي تقسم إلى ثلاثة أنواع بحسب اتجاهها: خطوط تقارب أفقية، رأسية، ومائلة. خطوط التقارب الأفقية هي خطوط أفقية يقترب منها رسم الدالة عندما تؤول إلى أو ، وكما يتضح من اسمها فإنها توازي محور الأفاصيل إن لم تكن تنطبق عليه. خطوط التقارب الرأسية هي خطوط رأسية (عمودية على محور الأفاصيل) تزداد بالقرب منها قيمة الدالة زيادة بلا حدود. وأخيرًا، خطوط التقارب المائلة هي خطوط تميل على الأفق بزاوية ما، بحيث يقترب الفرق بين المنحنى وهذا الخط من الصفر عندما تؤول إلى أو ، وهذا يسهل وضع تعريف معمم لخطوط التقارب.

خطوط التقارب المائلة

ومن جهة أخرى، إذا لم يكن خط التقارب المستقيم موازيًا لمحور الأفاصيل ولا عموديًا عليه فإنه يسمى خط تقارب مائل، ويقال حينئذ أن الدالة (ƒ(x تقاربية من الخط المستقيم y = mx + n (حيث m ≠ 0) إذا كانت

و

وفي هذا الصدد، من الممكن أن لا يكون هنالك خطوط تقارب أفقية لبعض الدوال في أحد الجانبين أو كليهما، أو من الممكن أن يكون لها نفس خط التقارب الأفقي في الجانبين، فمثلا الدالة لها خط تقارب عند y = 0 عندما تئول x إلى ، ذلك الخط عينه هو خط تقارب أفقي لنفس الدالة عندما تئول x إلى ؛ أي أن

علاوةً على ذلك، وبالتالي فإن الخط هو خط تقارب أفقي لدالة الظل العكسية (أو بمعنى آخر مماس أفقي للدالة) عندما تئول x إلى ، كما أن الخط هو خط تقارب أفقي (مماس أفقي) للدالة عندما تئول x إلى .

مثال بسيط

وعلى صعيد آخر، بالنظر إلى رسم الدالة الموضح إلى اليسار، نلاحظ أن إحداثيات النقاط الواقعة على المنحنى تأخذ الصورة ، حيث هو أي عدد حقيقي ما عدا الصفر، مثلا النقاط ، ، ، تقع جميعها على المنحنى. يلاحظ أنه كلما ازدادت قيمة ، ولتكن ، ، ،...، فإن قيم المقابلة لها تكون.،،،...، أي أنها تصير متناهية في الصغر، لكنها، مهما ازدادت قيمة ، لا تساوي الصفر ابدًا، مما يعني أن المنحنى لا يلامس محور الأفاصيل أبداً. وبالمثل فإنه مهما صغرت قيمة ، ولنفترض القيم ،،،...، حتى تصير متناهية في الصغر بالنسبة إلى المقياس الموضح، فإن قيم المقابلة، في هذه الحالة ، ، ،...، تزداد شيءًا فشيء حتى تصير قيمتها لا نهائية؛ أي أن المنحنى يمتد إلى أعلى أكثر فأكثر كلما اقترب من محور الأراتيب. إذن فمحور الأفاصيل والأراتيب هما خطا تقارب للمنحنى. هذه الأفكار بمثابة جزء من أساسيات مفهوم النهايات في علم الرياضيات.

وفي هذا الصدد، إن فكرة أن منحنى من الممكن أن يقترب من خط دون أن يصيرا خطًا واحدًا قد تبدو متناقضة مع التجارب أو الملاحظات اليومية، إذ أن تمثيل الخط أو المنحنى كعلامات على ورقة أو بيكسلات على شاشة حاسوب يكون بخطوط لها سمك واضح، الأمر الذي يجعل الخطين يبدوان كما لو كانا يمتزجان معًا إذا امتدا قليلاً بما يكفي، على الأقل بقدر ما يمكن للعين أن تميز. لكن هذا مجرد تمثيل فيزيائي لأشياء رياضية مقابلة لها؛ لأن الخط والمنحنى المثاليان سمكهما 0 (انظر الخط)، وبالتالي فإن فكرة خطوط التقارب تتطلب إعمال العقل أكثر من التجربة.

طرق تحديد خطوط التقارب

ومن جهة أخرى، يمكن تحديد خطوط تقارب الدوال البسيطة بطرق عدة دون الاستخدام الصريح للنهايات (مع أن أغلب هذه الطرق مشتقة من النهايات)