دالة بيتا

دالة بيتا غير الكاملة

وفي السياق ذاته، دالة بيتا غير الكاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

ومن ناحية أخرى، عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.

ومن جهة أخرى، تعتبر دالة بيتا غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

• بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد:
• خصائصها
• حساب دالة بيتا
• انظر كذلك
• توزيع بيتا
• دالة غاما
• توزيع احتمالي ثنائي

لكل

كذلك، تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه. يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

المشتقات

حيث هي دالة ثنائي غاما

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

التقريب

علاوةً على ذلك، وذلك لكل من x و y كبيرين، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

ومن جهة أخرى، يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

الخصائص

• تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:
• يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :
• عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :
• حيث (Gamma (x تساوي (x-1)! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.
• وتوجد الكثير من الصيغ لدالة بيتا منها :

العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما

بتبديل المتغيرين بوضع u=zt و (v=z(1-t يتضح ما يلي:

إضافةً إلى ذلك، من أجل حساب هذا التكامل المزدوج والقيام بهذا التغيير للمتغير، انظر إلى مصفوفة جاكوبية ومحددة جاكوبية.

إضافةً إلى ذلك، لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

ومن ثم،

التكاملات

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.