دالة بيسل

تكاملات بسل

• هنا صورة تكاملية أخرى:
• صلتها بالدوال الزائدية الهندسية
• صلتها بمتعددات حدود لاغيري
• دوال بسل من النوع الثاني: Yα
• دوال هانكل: Hα
• دوال بسل المعدلة: Iα, Kα
• دوال بسل الكروية: j n, y n
• علاقات تفاضلية
• التالية هي أي من حيث

علاوةً على ذلك، لقد كانت هذه هي الطريقة التي استعملها بسل، ومن هذا التعريف اشتق بعض الخصائص. يمكن تعميم التعريف إلى الرتب الغير صحيحة بإضافة حد اخر

في هذا الإطار، يمكن الحصول على تعريف اخر لدالة بسل، للقيم الصحيحة n، باستعمال الصورة التكاملية:

تعاريف

ومن جهة أخرى، بما أن دالة بسل معادلة تفاضلية، ينبغي أن يكون لها حلين مستقلين خطيا. اعتمادا على الحالات، بالرغم من ذلك، فإن صيغا مختلفة من هذه الحلول تكون مناسبة. فيما يلي وصفا لهذه الأنواع المختلفة.

تطبيقات دالة بيسل

ومن جهة أخرى، هناك تطبيقات أخرى لدوال بسل وخواص كما في معالجة الإشارة (مثل اصطناع الإف إم، نافذة كايسر، مرشح بسل).

في هذا الإطار، عند حل مسائل في أنظمة الاحداثيات الاسطوانية، يحصل المرء على دوال بسل ذات رتبة صحيحة (α == n); في الاحداثيات الكروية يحصل على رتب أنصاف أعداد صحيحة (α == n + ½). مثلًا:

في هذا الإطار، تظهر معادلة بسل عند الحاجة لحلول معادلة لابلاس ومعادلة هيلمتز في الإحداثيات الإسطوانية أو الإحداثيات الكروية. لذا فإن دوال بسل ذات أهمية كبرى في مسائل انتشار الموجة والساكنة.

• موجات كهرومغنطيسية في دليل الموجة الاسطواني.
• قانون توصيل الحرارة في جسم اسطواني.
• أنماط التذبذب في جسم دائري (حلقي) غشاء صناعي (مثلا طبلة أو أي ممبرانوفون).
• مسائل الانتشار على شكل شبكي.
• حلول معادلة شرودنغر (في الاحداثيات الكروية) لجسيم طليق.

دوال هانكل الكروية: h n

• دوال بسل-ريكاتي:
• أشكال مقاربة
• خواص دوال بسل
• صلتها بتحويل فورييه
• مبرهنة الضرب
• فرضية بورغيت
• مطابقات مختارة

دوال بسل من النوع الأول: Jα

ومن جهة أخرى، دوال بسل من النوع الأول التي يرمز لها , هي حلول معادلة بسل التفاضلية التي تكون محدودة عند نقطة الأصل لعدد صحيح غير سالب , وتتباعد عندما تقترب من الصفر لعدد صحيح غير سالب . يعرف نوع الحل (عدد صحيح أم غير صحيح مثلا) وانتظام بدلالة خواصه (انظر خواص دالة بسل). من الممكن تعريف الدالة من منشورها في متسلسلة تايلور حول :

إضافةً إلى ذلك، للقيم الغير صحيحة α, تكون الدوال و مستقلة خطيا، وتكون بالتالي الحلين العامين للمعادلة التفاضلية. من جهة أخرى، للأعداد الصحيحة , تكون العلاقة التالية صحيحة (لاحظ أن دالة غاما تصبح لانهائية لحجج الأعداد الصحيحة السالبة):

ومن ناحية أخرى، هذا يعني أن الحلين لم يعودا مستقلين خطيا. في هذه الحالة يكون الحل الآخر المستقل خطيا يكون دوال بسل من النوع الثاني كما هو مناقش في الأسفل.

من جانب آخر، حيث هي دالة غاما، تعميم دالة المضروب للقيم الغير صحيحة. يبدو رسم دوال بسل شبيها بدوال الجيب وجيب التمام المتضائلة طرديا مع مع أن جذورها ليست دورية عموما، سوى لقيم x التي يمكن مقاربتها. تشير متسلسلة تايلور إلى أن تمثل مشتقة , تماما مثل التي هي مشتقة ; وبشكل عام يمكن التعبير عن المشتقة بدلالة من مطابقات دوال بسل كما هو مبين في الأسفل.