دالة غاوسية

خصائص

من جانب آخر، مثال: قراءة شدة التيار في دائرة كهربائية عند نقطة معينة مع عدم تغيير الظروف، مرات متعددة وكثيرة.

• القراءات : 1 : 01و2 أمبير
• 2: 02و2 أمبير
• 3: 99و1 أمبير
• 4: 00و2 أمبير
• 5: 02و2 أمبير
• 6: 03و2 أمبير
• 7: 00و2 أمبير
• 8: 04و2 أمبير
• 9: 97و1 أمبير
• 10: 00و2 أمبير
• 11: 03و2 أمبير
• 12: 02و2 أمبير
• 13: 01و2 أمبير
• 14: 98و1 أمبير
• 15: 98و1 أمبير
• 16: 01و2 أمبير
• 17: 02و2 أمبير
• 18: 01و2 أمبير
• 19: 99و1 أمبير

وعلى صعيد آخر، توليد إحصائي لمنحنى الجرس : نفترض أن لدينا وعاء مملوءا بالرمل، كل حبات الرمل فيه صغيرة وفي حجم وشكل واحد . نعلق وعاء الرمل ونضع أسفله منضدة مستوية . نقوم بفتح ثقب في قاع الوعاء فيبدأ الرمل في السقوط في شعاع رفيع ويتخذ بعد فترة شكل كومة على المنضدة، وتكون هيئة كومة الرمل مشابهة للجرس. أغلب الرمل يكون متجمعا تحت الشعاع مباشرة، ويقل توزيع حبيبات الرمل في أماكن بعيدة عن مسقط الشعاع .

ومن ناحية أخرى، يستعمل هذا التوزيع لاستنتاج نتائج إحصاء فيزيائية أو اجتماعية لمعرفة بيانات هامة نريد معرفتها، من ضمنها المتوسط الحسابي ومقدار عدم التأكد أو توزيع الحالات التي تشكل 2/3 العينة.

وفي هذا السياق، تلك العملية الطبيعية نجدها كذلك في ظواهر متعددة مثل قياس تيار كهربائي بواسطة جهاز حساس، نجد أن القياسات المتعددة تكون لها توزيع يشبه منحنى الجرس؛ وتكون قيمة التيار المقاس هي القيمة الغالبة عند قمة منحنى الجرس.

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

04و2———03و2————02و2————01و2————00و2————99و1————98و1————97و1

20: 01و2 أمبير

كذلك، ونسجل النتائج في رسم بياني حيث نجد أن القياسة 01و2 جاءت 5 مرات، والقياسة 00و2 جاءت 3 مرات، ... وهكذا، كالآتي ؛

• ↑
• ↑ ↑
• ↑ ↑ ↑

القياسات بالأمبير

وعلى صعيد آخر، يمكن إجراء ذلك مثلا مع قياس أطوال تلاميذ المدرسة، ستجدهم يطابقون شكل الجرس، لأن عدد تلاميذ المدرسة عدد كبير.

اكتفينا هنا بأخذ 20 قراءة فقط.

إضافةً إلى ذلك، نجد أن النتائج تظهر موزعة في شكل قريب من شكل الجرس، ولكن بزيادة عدد القراءات يقترب شكل القياسات من شكل الجرس الحقيقي.

حساب متوسط التيار μ و التباين &sigma

وفي السياق ذاته، في تجربتنا أعلاه يمكن تعيين المتوسط الحسابي للتيار، وكذلك مقدار التباين Variance

• بالمعادلتين التاليتين (التباين هو مقدار عدم الدقة في تعيين التيار ):
• حيث:
• متوسط التيار (مجموع القراءات مقسومة على عدد القراءات n ؛ في حالتنا أعلاه n=20 )

و

هي أحد القراءات i ، حيث لدينا x3 , x2 ; x1 ... حتى x20.

كذلك، عندما نقوم بتلك الحسابات ووجدنا متوسط التيار = 012و2 أمبير مثلًا، ووجدنا التباين 014و0 أمبير فبذلك نعرف أن الدقة في قياس التيار يقع بين

تطبيقات

من جانب آخر، تظهر الدوال الغاوسية في عدة مجالات العلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية والرياضيات والهندسة. فيما يلي بعض من الأمثلة:

وفي السياق ذاته، الإحصاء و نظرية الاحتمالات وهي مشابهة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي ،

كذلك، في الرياضيات، اشتقاق الدالة الغاوسية يمكن أن يُعبر عنه باستعمال متعددات الحدود لهيرمت.

وفي هذا السياق، الدوال الغاوسية مشابهة كذلك لدالة غرين التي تصف معادلة التخلل diffusion في حالة نظام موزع توزيعا منتظما، وكذلك لوصف معادلة الحرارة heat equation ، والمعادلة التفاضلية الجزئية التي تصف تغير كثافة الكتلة خلال عملية تخلل أو نفاذية .

إضافةً إلى ذلك، تظهر الدوال الغاوسية في دراسات العلوم الطبيعية و العلوم الاجتماعية وفي الرياضيات و الهندسة الكهربائية ، مثل:

012و2 + 0,014 2,026 أمبير و

وعلى صعيد آخر، (يمكنك القيام بحساب تلك المعادلتين، وتصحيح النتائج بنفسك، لأنني لم أقم بحسابها بالدقة الكافية!)

كذلك، وتلك من خصائص منحنى الجرس أو بالتالي من خصائص التوزيع الاحتمالي الطبيعي.

0,014 - 012و2 1,998 أمبير في 7و66% من الحالات .