دالة محدبة
المحتويات
في البداية، تدعى دالة رياضية (بمتغير واحد) دالة محدّبة في مقطع ما إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على الرسم البياني للدالة في هذا المقطع يقع فوق الرسم البياني للدالة نفسها. مثلًا فإنّ الدالّة هي دالة محدّبة على طول محور الأعداد الحقيقية، كما يظهر في الرسم. وتجدر الإشارة إلى أنّ مفهوم التحدب والتقعر قد يكون عكس المفهوم اللغوي أو التصويري (فقد يظن البعض أن شكل الرسم البياني هو مقعر وليس محدبا). وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
وفي هذا السياق، الدالة المقعرة هي دالة محدبة معكوسة، بمعني أن قمتها تكون إلى أعلى في اتجاه المحور الرأسي ومفتوحة من أسفل، في شكل الجرس.
إضافةً إلى ذلك، بالإمكان تطوير تعريف الدالة المحدبة ليشمل دوالا بأكثر من متغير واحد، بل وأي دالة ذات قيم حقيقية معرّفة في نطاق يشكل مجموعة محدبة في فضاء اتجاهي ما.
ومن جهة أخرى، للدوال المحدّبة استعمالات عديدة وهامّة، خاصة في مجالات التحليل الدالي والاستمثال المحدب، وتظهر في عدة متراجحات مهمّة، منها متراجحة ينسن.
تعريف
،
وفي هذا الصدد، تدعى الدالة ذات القيم الحقيقية دالة محدبة إذا تحقّق لكل نقطتين و في نطاق الدالة C ولكل في المجال [0,1] ما يلي:
حيث أنّ هي معادلة الخط المستقيم (أي و).
- هذا وتدعى الدالة محدبة تمامًا إذا تحقّق:
- لكل في المجال (0,1) ولكل .
- أمّا إذا كانت الدالة هي دالة محدبّة فتدعى الدالة دالة مقعرة.
من جانب آخر، ويظهر تفسير كون الدالة أحادية المتغير محدّبة إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على رسمها البياني يقع فوق الرسم البياني، يظهر من المتراجحة أعلاه، إذ أنّه إذا كانت هي نقطة تقع بين x وy (تذكير: )، فإنّ:
خواص تحليلية
من جانب آخر، إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، وكانت دالة غير تنازلية، فإنّ ؛
ومن جهة أخرى، تحدّب الدالة لا يتغير إثر تحويلات أفينيّة على المتغيّر، أي أنّه إذا كانت f هي دالة محدبة وكان ، فإنّ هي دالة محدبة، حيث ، ، ؛
كذلك، إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، فإنّ الدالتين: و هما محدبتان كذلك؛
أمثلة
كذلك، إنّ المشتق الثاني للدالة هو أي أنّه غير سالب في المجموعة ، ولذا فإنّ f محدّبة هناك، وغير موجب في المجموعة ، أي أنّ الدالة مقعرة هناك.
- انظر كذلك
- دالة مقعرة
- مجموعة محدبة
- متراجحة ينسن
- وسيط أعظمي
وفي هذا الصدد، الدالة هي دالة محدبة تمامًا إذ أنّ المشتق الثاني للدالة موجب لكل x: .
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟