دالة موبيوس

تعريف

ومن ناحية أخرى، تعرف دالة موبيوس (μ(n لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية n و تأخذ قيمة تنتمي إلى المجموعة {1، 0، 1-}, بدلالة تعميل n إلى جداء أعداد أولية و تعرف كما يلي :

ومن ناحية أخرى، μ(n) = 1 : إ ذا لم يحتو n على أي مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية و كان عدد هؤلاء الأعداد زوجيا.

خصائص وتطبيقات

إضافةً إلى ذلك، يبين الشكل التالي قيمة دالة موبيوس للأعداد الأصغر أو تساوي خمسين :

كذلك، μ(n) = -1 : إ ذا لم يحتو n على أي مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية و كان عدد هؤلاء الأعداد فرديا.

كذلك، μ(n) = 0 : إ ذا احتوى n على مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية, أو بتعبير آخر، إذا قبل n القسمة على مربع عدد أولي ما.

خصائص

انظر إلى صيغة القلب لموبيوس.

ومن جهة أخرى، دالة موبيوس هي دالة جداءية. أي أن (μ(ab) = μ(a) μ(b كلما كان العددان a و b أوليين فيما بينهما.

المتسلسلات الرياضية

• يظهر هذا جليا من خلال جداء أويلر.
• تعميمات
• الفيزياء

وفي السياق ذاته، متسلسلة دركليه التي تولد دالة موبيوس هي المقلوب الجدائي لدالة زيتا لريمان. إذا كان s عددا مركبا جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الواحد، فإن:

دالة ميرتنز

ومن جهة أخرى، النظر إلى هاته الدالة يؤدي حتما إلى النظر إلى دالة ميرتنز المعرفة كما يلي:

تطبيقات