دوال زائدية

تعابير متسلسلات تايلور

• من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:
• (متسلسلة لوران)
• (متسلسلة لوران)
• حيث
• هي عدد بيرنولي رقم n
• هي عدد أويلر رقم n

صيغ الجمع

صيغ ضعف الزاوية

لدينا كذلك:

بواسطة الدوال المثلثية لعدد مركب

• يمكن استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية لعدد مركب:
• الجيب الزائدي:
• جيب التمام الزائدي:
• الظل الزائدي:
• ظل التمام الزائدي:
• القاطع الزائدي:
• قاطع التمام الزائدي:
• حيث وحدة تخيلية معرفة بأنها .
• ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر.

بدلالة الدوال الأسية

• الدوال الزائدية هي:
• الجيب الزائدي:
• جيب التمام الزائدي:
• الظل الزائدي:
• ظل التمام الزائدي:
• القاطع الزائدي:
• قاطع التمام الزائدي:
• يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر.

علاوةً على ذلك، لاحظ أنه من التعريف, تعني , ليس ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة ,

وفي هذا الصدد، بحيث , بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و , بالنسبة للجيب الزائدي.

الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية:

سبب التسمية

ومن جهة أخرى، تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.

من جانب آخر، كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد.

كذلك، تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا.

متطابقات

• الدوال الزوجية والفردية:
• ومنهم:
• وبالتالي، cosh x و sech x هي دوال زوجية؛ بينما الدوال الأخرى هي دوال فردية.
• تلبي دالتا جيب وجيب التمام الزائديان:
• تشبه الأخيرة متطابقة فيثاغورس المثلثية.
• لدينا كذلك:
• بالنسبة إلى الدوال الأخرى.

من جانب آخر، في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة أوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي.

صيغ نصف الزاوية

• حيث هي دالة الإشارة.
• إذا كان ، فإن:
• الدوال العكسية في صور لوغاريتمية
• المشتقات

تعريف بواسطة التكامل

من جهة ثانية، يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:

تطبيقات الدوال الزائدية

• تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.
• انظر كذلك
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية
• قطع زائد

ومن ناحية أخرى، لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا كذلك كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.

المقارنة مع الدوال المثلثية

من جهة ثانية، تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.

إضافةً إلى ذلك، الرسم البياني للدالة هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.

علاوةً على ذلك، يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا مرة الدوال الدائرية والزائدية.

من جانب آخر، بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r2u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية.

في هذا الإطار، الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى ، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران الدائري.

من جانب آخر، تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي ) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة.

صيغ الطرح

كذلك:

الدوال الزائدية للأعداد المركبة

ومن جهة أخرى، لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل.

في هذا الإطار، وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة ( بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين).

وعليه:

ومن ناحية أخرى، إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.

علاوةً على ذلك، وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:

تعريفات

هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية.

بواسطة المعادلات الفاضلية

إضافةً إلى ذلك، يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان للجملة:

بحيث و .

قاطع التمام الزائدي ويُرمز لها بـ csch

إضافةً إلى ذلك، أُدخلت الدوال الزائدية في ستينيات القرن الثامن عشر بشكل مستقل من قبل فينتشنزو ريكاتي ويوهان هاينغيش لامبرت. استعمل ريكاتي الترميزات: و (sinus/cosinus circulare) للإشارة إلى الدوال الدائرية (المثلثية) و و (sinus/cosinus hyperbolico) للإشارة إلى الدوال الزائدية. اعتمد لامبرت الأسماء لكنه غير الاختصارات إلى تلك المستعملة اليوم. تستعمل في الوقت الحالي الاختصارات بناءً على التفضيل الشخصي.

وفي السياق ذاته، تأخذ الدوال الزائدية مدخل حقيقي يسمى الزاوية الزائدية. مقدار الزاوية الزائدية ضعف مساحة قطاعها الزائدي. يمكن تعريف الدوال الزائدية بدلالة ساقي المثلث القائم الذي يغطي هذا القطاع.

علاوةً على ذلك، حسب مبرهنة ليندمان-فايرشتراس، للدوال الزائدية قيمة متسامية لكل قيمة جبرية غير صفرية للمدخل.

كذلك، في التحليل المركب، تنشأ الدوال الزائدية كأجزاء تخيلية لدالتي الجيب وجيب التمام. الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي دوال كاملة. ونتيجة لذلك، فإن الدوال الزائدية الأخرى دوال جزئية الشكل في المستوي المركب بأكمله.

• كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:
• معكوس الجيب الزائدي ويُرمز لها بـ arsinh أو argsh
• معكوس جيب التمام الزائدي ويُرمز لها بـ arcosh أو argch
• ... وهكذا.

تكاملات قياسية

في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.

علاقاتها بالدوال الأسية

• تحليل الدالة الأسية في أجزائها الزوجية والفردية يعطي المتطابقات التالية:
• تشبه الأولى صيغة أويلر.
• فضلًا عن