رمز شليفلي

مجموعات التماثل

وفي هذا السياق، يرتبط رمز شليفلي ارتباطاً وثيقاً بمجموعات التماثل أو التناظر الانعكاسي، التي تدعى كذلك مجموعات كوكستر، وهي تُعطى بنفس العلامات، ولكن داخل أقواس مربعة [ض، ط، ق، ....] أو . وغالباً ما تسمي تلك المجموعات حسب اسم متعددات المقام المنتظمة التي تتولد عنها. مثلًا [3,3] أو [3,3] هي مجموعة كوكستر للتماثل رباعي السطوح ، و[4,3] أو [3,4] هو التماثل ثماني السطوح ، و [5,3] أو [3,5] هو التماثل عشروني السطوح .

وصف الترميز

كذلك، أما متعدد الوجوه (السطوح) الذي يتشكل من عدد ط ( أو q باللاتينية) من الوجوه تلتقى عند كل رأس من رؤوسه، ويكون كل وجه منها هو عبارة عن مضلع منتظم عدد أضلاعه ض فيرمز له بالرمز {ض، ط} أو {p,q}. فمثلاً يكون ترميز المكعب هو {3,4} أو {4,3} لوجود ثلاث مربعات حول كل رأس من رؤوس المكعب.

ومن ناحية أخرى، يُمثَّل متعدد الأكناف ( polytope-4 )، الذي يتكون من عدد ق {ض، ط} من الخلايا المنتظمة حول كل حافة من حوافه بالرمز {ض، ط، ق} أو {p,q,r} ، وهلم جرا. وتكون كل خلية من خلايا متعدد المقام رباعى الأبعاد هي عبارة عن متعدد وجوه ذا أحرف متجهه.

من جهة ثانية، وبوجه عام، فان سطيح متعدد المقام {ض، ط، ق،....س، ع} هو {ض، ط، ق،....س}.

ومن جهة أخرى، كذلك بنية الرأس لمتعدد المقام المنتظم تكون شكلاً هندسياً منتظماً. وتكون بنية الرأس لمتعدد المقام المنتظم {ض، ط، ق،....س، ع} هي {ط، ق،....س، ع}.

وفي السياق ذاته، رمز شيلفلي يمكن أن يستعمل لتمثيل أي متعدد سطوح محدب متناهي الشكل، وأى مُرَصّعْ متناهي الشكل في الفراغ الإقليدي، أو أي مُرَصّعْ لا متناهي الشكل في الفراغ الزائدي اعتماداً على الخلل الزاوي للبناء الهندسي. فعندما يكون الخلل الزاوي موجباً فانه يسمح لبنية الرأس أن تنثني لتدخل في بعد فراغي أعلى وتنعقد (أو تدور) راجعة مرة أخرى إلى نفسها كمتعدد مقام. أما الخلل الزاوي صفر فهو يُرَصّعْ الفراغ كسطيحات هندسية في نفس الأبعاد الفراغية. وعندما يكون الخلل الزاوي سلبياً فهو لا يمكن أن يتواجد في الفراغ العادي، ولكن يمكن بناؤه في الفراغ الزائدي.

من جهة ثانية، وعادة ما يفترض في بنية الرأس أنها متعدد مقام متناهي الأبعاد، ولكن يمكن أن تعتبر في بعض الأحيان على أنها مُرَصْعَة هندسية في حد ذاتها.

في هذا الإطار، رمز شيلفلي هو وصف تِكراري للأشكال الهندسية، يبدأ بعدد يرمز لمضلع منتظم عدد أضلاعة ض بالرمز {ض} ( أو {p} باللاتينية). مثلًا، الرمز {3} يرمز لمثلث متساوي الأضلاع، والرمز {4} يرمز للمربع وهلم جرا.

من جهة ثانية، كذلك، كل متعدد المقام يكون له متعدد مقام مزدوج، تمثله عناصر رمز شليفلي في ترتيبها العكسي. ومتعدد المقام ذاتي الازدواج يكون له «رمز شليفلي» متماثل.

وفي هذا الصدد، يمكن أن تتشكل متعددات المقام المنتظمة من عناصر لها شكل مضلع نجمي، مثل النجمة الخماسية، التي يرمز لها بالرمز {5\2} أو {5/2}، وهي نجمة لها رؤوس ممثلة في رؤوس خماسي منتظم ولكن أضلاعها متصله بالتناوب بين تلك الرؤوس.

المضلعات المنتظمة في المستوى الإقليدي

مثلًا، يُمثَّل تبليط مسدسي بالرمز {3,6} أو {6,3}.

من جهة ثانية، مثلًا {3,5} أو {5,3} هو رمز متعدد السطوح الاثنا عشري المنتظم. فهو مكون من وجوه على شكل خماسي منتظم (5 حواف)، و 3 خماسيات منتظمة حول كل رأس من رؤوسه.

في هذا الإطار، ويمكن كذلك استخدام رموز شليفلي لتعريف التبليطات المنتظَمة في الفراغ الإقليدي أو الزائدي بطريقة مماثلة.

• رمز شليفلي للمضلع المنتظم ذو الحواف ن هو {ن} أو {n} باللاتينية.
• مثلًا، يتم تمثيل الخماسي المنتظم بالرمز {5} أو {5}.
• راجع المضلع المنتظم المحدب والمضلع النجمي الغير محدب.
• مثلًا، {5\2} أو {5/2} هو رمز النجمة الخماسية.
• متعددات الوجوه/السطوح المنتظمة (فراغ ثلاثي الأبعاد)

في هذا الإطار، راجع المجسمات الأفلاطونية الخمس المحدبة، ومتعددات وجوه كبلر وبوانسو الأربعة غير المحدبة.

من جهة ثانية، رمز شليفلي لمتعدد الوجوه المنتظم هو {ض، ط} إذا كانت وجوهه هي مضلعات منتظمة لها عدد أضلاع ض، وتحيط بكل رأس من رؤوسه عدد ط من تلك الوجوه (وتكون بنية الرأس كذلك مضلع منتظم عدد أضلاعة ط).