زمرة تبديلات
المحتويات
قبل الخوض في التفاصيل، في الرياضيات، زمرة تبديلات هي زمرة G عناصرها تبديلات لمجموعة ما M والعملية المعرِفة للزمرة هي تركيب هؤلاء التبديلات في G . وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
ومن ناحية أخرى، الطريقة التي تُبدل بها عناصر زمرة تبديلات ما عناصر مجموعة ما مع بعضها البعض تسمى فعل الزمرة.
إضافةً إلى ذلك، نظرا إلى مبرهنة كايلي، كل زمرة هي في تساوٍ للشكل مع زمرة تبديلاتٍ ما.
الرموز المستعملة
من جانب آخر، هؤلاء التبديلات هن تقابلات من المجموعة M إلى المجموعة M نفسها، لا أقل ولا أكثر. زمرة جميع التبديلات المعرفة على مجموعة ما M، هي الزمرة المتماثلة ل M، والتي عادة ما يرمز إليها ب Sym(M). يشير المصطلح زمرة تبديلات إذن، إلى زمرة جزئية من الزمرة المتماثلة.
تركيب تبديلتين
الجداء QP هو:
التاريخ
من جهة ثانية، تطور هذا الموضوع، وفي منتصف القرن التاسع عشر، وُجدت نظرية متطورة بشكل جيد لنظرية التبديلات، كان قد صنفها كامي جوردان في كتاب له عنوانه كتاب التبديلات والمعادلات الجبرية (Traité des Substitutions et des Équations Algébriques) نشره في سنة 1870. اعتمد كتاب جوردان بدوره على الأوراق التي تركها إيفاريست غالوا في سنة 1832.
انظر إلى ويليام برنسايد.
وفي هذا الصدد، انبثقت دراسة الزمر من فهم لزمر التبديلات. التبديلات ذاتها، درسن بشكل مكثف من طرف عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف لوي لاغرانج في سنة 1770، أثناء عمل له حول الحلحلة الجبرية للمعادلات الحدودية.
أمثلة
من جانب آخر، e = (1)(2)(3)(4) = (1)، هذه هي التبديلة المطابقة. إنها تربط كل عنصر بنفسه.
وعلى صعيد آخر، ab = (1 2)(3 4)، هذه التبديلة هي تركيب للتبديلتين السابقتين. إنها تربط الواحد باثنين والاثنين بواحد والثلاثة بأربعة والأربعة بثلاثة.
إضافةً إلى ذلك، a = (1 2)(3)(4) = (1 2)، هذه التبديلة تربط الواحد باثنين والاثنين بواحد وتترك الثلاثة والأربعة ثابتتين.
لتكن المجموعة التالية G1 لتبديلات المجموعة M = {1,2,3,4}:
مبرهنة كايلي
ومن جهة أخرى، b = (1)(2)(3 4) = (3 4)، هذه التبديلة تشبه التبديلة السابقة. إنها تترك الواحد والاثنين ثابتين وتربط الثلاثة بأربعة، والأربعة بثلاثة.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟