زوج لاكس

معادلات مع زوج لاكس

• هنالك أمثلة أخرى لأنظمة من المعادلات التي يمكن أن تُصاغ كزوج لاكس ومنها:
• معادلة بنيامين-أونو Benjamin–Ono equation
• معادلة شرودينغر اللاخطية المكعبة أحادية البعد

ثم نرى التغاير

with .

حيث أن

هنا، يمكن أن تكون الحركة g معقد بشكل تعسفي.

وفي هذا الصدد، غالباً, كما في المثال أدناه، تعتمد على بالطريقة الموصوفة مسبقاً, إذاً هذه المعادلة الغير-خطية للمتغير تعتبر كدالة للمتغير .

من جانب آخر، الملاحظة الأساسية هي أن المعادلة الموجودة أعلاه هي على شكل اللامتناهي في الصغر infinitesimal form من عائلة المصفوفات التي لدى جميعها نفس الطيف، وذلك باستعمال المعطيات

في هذا الإطار، لنفترض العكس لعائلة قابلة للاختلاف لمرة واحدة بشكل تعسفي من المؤثرات القابلة للعكس .

من جهة ثانية، للقيمة L مستقلة عن t. المصفوفات/المؤثرات L تُدعى الطيفية المتساوية isospectral كمتغير .

وفي السياق ذاته، عندئذ يمكن أن تكون كلاً من القيم الذاتية eigenvalue و الطيف المستمر continuous spectrum

نظام دافي-ستيوارتسون Davey-Stewartson system

معادلة كورتوغ-ديفارس Korteweg–de Vries equation

ومن ناحية أخرى، معادلة كادومتسيف-بيتفياشفيلي Kadomtsev–Petviashvili equation

مثال

يمكن الآن إعادة صياغتها كمعادلة لاكس

تكون معادلة كورتوغ-ديفارس (معادلة كي دي في) KdV equation

التعريف

وفي هذا السياق، زوج لاكس هو زوج من المصفوفات أو المؤشرات تعتمد على الزمن وتقوم على فضاء هلبرت الثابت، عندما تكون

هرم كي دي في KdV hierarchy

ومن جهة أخرى، معادلة كورتوغ-ديفارس المعدلة Modified Korteweg-de Vries equation

معادلة ساين-غوردون Sine-Gordon equation

مع

وعلى صعيد آخر، و هذا يفسر لعدد لانهائي من التكاملات الأولى لمعادلة كي دي في.

(مؤثر ستورم–ليوفيل Sturm-Liouville operator)