سرعة زاوية

W منحرف متماثل

• .
• بتطبيق المعادلة .
• .
• وبالتالي W هو سلبي بالنسبة لمنقوله ، مما يعني أنه منحرف متماثل.

ومن ناحية أخرى، إن مصفوفة الدوران A متعامدة، عكس منقولها، إذا لدينا . لكل إطار مصفوفة . إزالة مشتق الزمن من المعادلة يعطينا:

كذلك، نثبت أن موتر السرعة الزاوية هو انحراف متماثل، يعني لتعطينا .

الحساب من مصفوفة الاتجاه

كذلك، (هذا حتى لو (A(t لا تدور بشكل موحد). لذلك موتر السرعة الزاوية هو:

بحيث معكوس المصفوفة المتعامدة، هو منقولها .

وفي السياق ذاته، بالنظر إلى مصفوفة التوجه (A(t لإطار، أعمدتها هي متجهات متعامدة متحركة ذات إحداثيات ، يمكننا الحصول على موتر السرعة الزاوية (W(t كالتالي: يجب أن تكون السرعة الزاوية هي نفسها بالنسبة إلى المتجهات الثلاثة لذلك بعد ترتيب المعادلات المتجهية الثلاثة في أعمدة مصفوفة، لدينا:

الخضوع لحركة دائرية منتظمة حول محور ثابت يستوفي:

خصائص

ومن جهة أخرى، هذا الموتر W سيكون لديه n(n−1)/2 عناصر مستقلة، وهو بُعد جبر لي (Lie Algebra) من مجموعة لي (Lie Group) ذات تناوب مساحة المنتج الداخلية ذات الأبعاد n.Rotations and Angular Momentum on the Classical Mechanics page of the website of John Baez, especially Questions 1 and 2.

ومن ناحية أخرى، عامة، السرعة الزاوية في فضاء ذو أبعاد n) n: عدد الأبعاد) هو المشتق الزمني لموتّر الإزاحة الزاوية، وهو موتر متماثل منحرف من المرتبة الثانية.

الصيغة الرياضية

• نفترض حالة حركة دائرية فتكون السرعة الزاويَّة ، أي معدل تغير الزاوية مع الزمن :
• ومنه نحصل على زمن الدورة T الواحدة :
• وتبلغ سرعة نقطة على دائرة دوران ذات نصف قطر :
• ويبلغ عدد الدورات في الثانية :

من جانب آخر، في الحركة الاهتزازية يمثل التردد عدد الاهتازات الكاملة (الدورات) في وحدة الزمن. وفي كل دورة يتغير مسقط المطال طبقا لدالة جيبية ويعبر زاوية قدرها .

وتناظر صيغة التردد صيغة عدد الدورات :

وفي هذا الصدد، هذه المعادلة تبين العلاقة بين التردد f والسرعة الزاوية . ويقاس التردد هرتز أو 1/ثانية، أما السرعة الزاوية فهي تقاس ب راديان/ثانية.

من ذلك يمكننا حساب التردد الزاوي :

وصف خالٍ من الإحداثيات

وفي السياق ذاته، في أي لحظة t، موتر السرعة الزاوية يمثل خريطة خطية بين موضع المتجهة (r(t وسرعة المتجهات (v(t لنقطة على جسم صلب تدور حول الأصل:العلاقة بين هذه الخريطة الخطية ومتجهة السرعة الزاوية الزائفة هي كالتالي.

من جانب آخر، هو منحرف متماثل. وبالتالي يمكننا تطبيق حقيقة الجبر الخارجي بأن هناك شكلًا خطيًا فريدًا ل حيث:

ومن جهة أخرى، لأن w هو مشتق التحول المتعامد (orthogonal transformation)، الشكل الخطي:

حيث أن هو الناتج الخارجي ل و

كذلك، نعطي ، كمزدوجة هودج (Hodge dual) لـ L وبتطبيق تعريف مزدوجة هودج مرتين بافتراض أن الوحدة المفضلة ل 3 متجهات هو

لأن متجهة اختيارية، من عدم انحلال للجداء العددي بالتالي:

نأخذ L لـ L تعطينا:

بحيث: حسب التعريف.

أُسية W

مما يدل على وجود صلة مع مجموعة لي من الدورات.

من جهة ثانية، إذا عرفنا الإطار الأولي (A(0 ولدينا سرعة موتر زاوية ثابتة W، يمكننا الحصول على (A(t لأي زمن t. نذكر معادلة المصفوفة التفاضلية:

يمكن حساب تكامل هذه المعادلة لتعطينا:

موتر

في هذا الإطار، متجهة السرعة الزاوية يمكن التعبير عنها بالتساوي على أنها موتر (Tensor) السرعة الزاوية، المصفوفة (أو الخريطة الخطية) (W = W(t تعطى على الشكل التالي:

هذه مصفوفة دوران متناهية الصغر. المصفوفة W تتصرف ك :

السرعة الزاوية كمجال متجهي

وفي السياق ذاته، بما أن موتر سرعة الدوران الزاوية لجسم صلب (في إطارها الإفتراضي). هو تحويل خطي يضع المواضع على السرعات (داخل الجسم الصلب)، يمكن اعتبارها مجال متجهي ثابت، على وجه الخصوص ، السرعة الزاوية لللف (الغزل) هي مجال متجهي قاتل ينتمي إلى عنصر من عناصر جبر لي (SO(3 لمجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد (SO(3.

• انظر كذلك
• تردد زاوي
• تسارع زاوي
• عزم زاوي
• بدارية
• عزم الدوران
• عزم القصور الذاتي
• فيزياء الكرة النطاطة

وفي السياق ذاته، كذلك ، يمكن إثبات أن المجال المتجهي للسرعة الزاوية الدورانية هو بالضبط نصف دوران مجال متجه السرعة الخطية (v(r' لجسم صلب، بالأرقام:

الازدواجية فيما يتعلق بمتجهة السرعة

في هذا الإطار، إنها مزدوجة هودج وهي متجهة، وهي بالضبط متجهة السرعة الزاوية السابقة

وفي هذا الصدد، في ثلاثة أبعاد، السرعة الزاوية يمكن تمثيلها بواسطة متجهة زائفة (pseudovector) لأن الموترات من الرتبة الثانية مزدوجة بالنسبة إلى المتجهات الزائفة (pseudovectors ) في ثلاثة أبعاد. حيث أن متوتر السرعة الزاوية (W=W(t عبارة عن مصفوفة منحرفة متماثلة: