سطح غاوسي

الأسطح الغاوسية الشائعة

• أغلب المعادلات التي تستعمل الأسطح الغاوسية تبدأ بتطبيق قانون غاوس (للكهربائية)
• حيث (V(Q هي الشحنة الكهربائية المتضمنة داخل V السطح المغلق.
• هذا هو قانون غاوس الذي يدمج بين قانون كولوم ومبرهنة التباعد>

كذلك، عند أداء تفاضل لسطح مغلق، فإن السطح الغاوسي لا يتضمنن بالضرورة كل الشحنة الكهربائية. وإضافةً على ذلك، ليس بالضرورة أن نختار سطح غاوسي الذي يستعمل التناظر في حالة معينة (كما في الأمثلة بالأسفل) ولكن، الحسابات تكون قليلة المشقة بكثير إذا استعملنا السطح الغاوسي المناسب.

لحساب مقدار الحقل الكهربائي

إضافةً إلى ذلك، إذا كان R>r أي نصف قطر السطح الغاوسي (r) أصغر من نصف قطر القشرة الكروية (R)، أي ان نتخيل السطح الغاوسي الكروي يصبح داخل القشرة الكروية أي ان السطح الغاوسي يضم أقل من قيمة الشحنة الكلية Q.

• فلحساب التدفق الكهربائي و مقدار الحقل الإلكتروني
• نرى إن
• فإن
• وحسب الإستنتاج السابق لقانون غاوس
• فإن لحساب التدفق الكهربائي
• لحساب مقدار الحقل الكهربائي

أي توزيع آخر للشحنة ولكن بتناظر كروي

من جانب آخر، يختار السطح الغاوسي الكروي بحيث تكون متركز حول توزيع الشحنة.

السطح الكروي

في هذا الإطار، يستعمل سطح كروي غاوسي عندما يبحث عن الحقل الكهربائي أو تدفق كهربائي المنتج من أياً من الآتي:

شحنة نقطية

شحنة على شكل قشرة كروية موزعة بشكل متجانس

السطح الإسطواني

خط طويل لامتناهي من الشحنة المنتظمة

مستوى لامنتاهي من الشحنة المنتظمة

علاوةً على ذلك، يستعمل سطح لإسطواني غاوسي عندما يبحث عن الحقل الكهربائي أو تدفق كهربائي المنتج من أياً من الآتي:

التدفق الكهربائي يتكون من ثلاثة مساهمات

من جهة ثانية، الأسطح a و b متعامدان مع E و dA، ولكن السطح c متوازي مع dA و E كما هو موضح بالصورة.

• فإن مساحة سطح الإسطوانة تساوي
• فإن
• وإستنتجنا سابقاً
• وحسب قانون غاوس
• وإذا استبدلنا ΦE فإن
• انظر كذلك
• مساحة
• تفاضل شعاعي
• تكامل
• قانون غاوس الكهربائي
• قانون غاوس المغناطيسي

مثال

كذلك، افرض أن قشرة كروية مشحونة (S) سمكها لا يذكر، ولديها شحنة متجانسة التوزيع (Q) ونصف قطر القشرة الكروية (R). هنا يمكننا استخدام معادلة غاوس لمعرفة مقدار محصلة الحقل الكهربائي (E) أو التدفق الكهربائي (ϕ). وذلك بتخيل سطح غاوسي كروي على مسافة (r) (نصف قطره) من وسط القشرة الكروية المشحونة.

لحساب التدفق الكهربائي

من جانب آخر، وإستناجأً من قانون غاوس الذي يمكن أن يعرف بأنه الشحنة الكلية Q الموجودة في مساحة مقسمة على سماحية الفراغ ε0. فبذلك يمكن صياغته رياضيا كما يلي:

وفي هذا السياق، إذا كان r>R أي نصف قطر السطح الغاوسي (r) أكبر من نصف قطر القشرة الكروية (R)، فإن مقدار الحقل المغناطيسي متساوي على جميع النقاط داخل السطح ومتجه للخارج. التدفق الكهربائي يساوي مقدار الحقل المغناطيسي مضروب في مساحة السطح الكروي.

مثال

من جهة ثانية، , هناك ثلاثة أسطح وهي a و b و c كما هو موضوح في الصورة. ,تفاضل المتجه المساحي هو dA على كلٌ من سطح a و b و c.

ومن جهة أخرى، افترض ان نقطة ما تسمى (P) على مسافة (r) من شحنة على شكل خط لانهائي لها كثافة الشحنة (λ). تخيل سطح مغلق على شكل إسطوانة حول الخط الانهائي من الشحنة.

في هذا الإطار، إذا كانت (h) هي طول السطح الإسطواني الغاوسي فإن الشحنة (q) داخل الإسطوانة الغاوسية تساوي