سعر آجل

إثبات صيغة السعر الآجل

• ك = السعر العادل
• ج = تكلفة رأس المال
• S = السعر الفوري للأصل

وفي هذا الصدد، يبرز هنا سؤالان: ما السعر الذي ينبغي لمركز البيع (بائع الأصل) أن يعرضه لتعظيم مكاسبه؟ وما السعر الذي ينبغي لمركز الشراء (مشتري الأصل) أن يقبله لتحقيق أقصى مكاسب ممكنة؟"وعلى أقل تقدير، نعلم أن أياً من الطرفين لا يرغب في تكبد أي خسائر مالية في هذه الصفقة."يعرف مركز البيع بقدر ما يعرفه مركز الشراء: فكلا المركزين على دراية بأي مخططات يمكنهما المشاركة فيها لتحقيق ربح بالنظر إلى سعر مستقبلي معين.

ومن ناحية أخرى، (السعر العادل + القيمة المستقبلية لتوزيعات أرباح الأصل) - السعر الفوري للأصل = تكلفة رأس المال السعر الآجل = السعر الفوري - تكلفة الاحتفاظ

من جانب آخر، "تُحسب القيمة المستقبلية لتوزيعات أرباح ذلك الأصل (والتي قد تتمثل كذلك في قسائم السندات، أو الإيجار الشهري للعقارات، أو المحاصيل الزراعية، وغيرها) باستخدام معدل الفائدة الخالي من المخاطر. ويرجع ذلك إلى أننا نتعامل في بيئة خالية من المخاطر (إذ إن الغاية الأساسية من العقد الآجل هي درء المخاطر أو الحد منها على أقل تقدير)، فما الذي قد يدفع مالك الأصل للمخاطرة؟ الأرجح أنه سيعمد إلى إعادة استثمار أمواله بمعدل خالٍ من المخاطر (كأن يستثمر في أذونات الخزانة الأمريكية التي تُعد أصولاً خالية من المخاطر). أما السعر الفوري للأصل، فما هو إلا قيمته السوقية في اللحظة التي يُبرم فيها العقد الآجل.وعليه، فإن (المخرجات - المدخلات = صافي المكاسب)، ولا يمكن أن يتأتى صافي مكاسبه هذا إلا من «تكلفة الفرصة البديلة» للاحتفاظ بالأصل طوال تلك الفترة الزمنية (إذ كان بوسعه بيع الأصل واستثمار أمواله بمعدل خالٍ من المخاطر).ولنفترض أن:

من جانب آخر، وعليه، فمن البديهي أن يتفق الطرفان على سعرٍ عادل، وإلا تعذر إبرام الصفقة. يمكن صياغة ذلك اقتصادياً على النحو الآتي:

F = القيمة المستقبلية لأرباح الأصل

• I = القيمة الحالية لـ F (مخصومة باستخدام r )
• r = معدل الفائدة الخالي من المخاطر والمركب باستمرار
• T = المدة الزمنية منذ تاريخ إبرام العقد

كذلك، وبحل المعادلة لإيجاد السعر العادل، وإجراء التعويضات الرياضية اللازمة، نخلص إلى الصيغة الآتية:

• في حين:
• منذ حيث يمثل j معدل الفائدة الفعلي لكل فترة زمنية T.
• حيث يمثل ci توزيع الأرباح رقم ith المدفوع عند الزمن t i.
• بإجراء بعض الاختصارات الرياضية، نخلص إلى الصيغة الآتية:

علاوةً على ذلك، تجدر الإشارة إلى أن الاشتقاق الآنف ذكره ينطوي ضمناً على فرضيةٍ مفادها أن الأصل الأساسي قابلٌ للتداول؛ بيد أن هذه الفرضية لا تنطبق على أنواعٍ معينة من العقود الآجلة.

صيغة سعر المكافأة

من جهة ثانية، "في حال كان الأصل الأساسي قابلاً للتداول وتوافرت له توزيعات أرباح، فإن السعر الآجل يُحسب بحسب الصيغة الآتية:"

• في حين :
• يمثل F السعر الآجل مستحق الدفع عند الزمن T.
• يمثل e^ الدالة الأسية (وتُستعمل لحساب الفائدة المركبة بشكل مستمر).
• يمثل r معدل الفائدة الخالي من المخاطر.
• يمثل q عائد الملاءمة.
• يمثل السعر الفوري للأصل (أي السعر الذي يمكن بيع الأصل به عند الزمن 0).
• يمثل توزيعات الأرباح المضمون دفعها عند الزمن ، حيث

قائمة المراجع

طرق مارتينجال في الأسواق المالية – موسيلا وروتكوفسكي

النماذج ذات الحدين في التمويل - فان دير هوك وإليوت

أسعار العقود الآجلة مقابل أسعار العقود المستقبلية

وفي هذا السياق، يبرز تباينٌ بين الأسعار الآجلة والأسعار المستقبلية عندما تكون أسعار الفائدة تصادفية، غير أن هذا التباين يتلاشى متى ما كانت أسعار الفائدة حتمية.وبلغة العمليات التصادفية، يُعد السعر الآجل بمثابة «مارتينجال» (Martingale) في ظل المقياس الآجل، في حين يُعد السعر المستقبلي «مارتينجال» في ظل المقياس المحايد للمخاطر. ويتطابق المقياسان، الآجل والمحايد للمخاطر، متى ما كانت أسعار الفائدة حتمية.