شكل دقيق

التاريخ

من جانب آخر، الأشكال التفاضلية هي جزء من مجال الهندسة التفاضلية ، وتتأثر بالجبر الخطي. على الرغم من أن فكرة الفارق قديمة إلى حد كبير ، فإن المحاولة الأولية لمؤسسة جبرية من الأشكال التفاضلية تُنسب عادة إلى إيلي كارتان بالإشارة إلى ورقة 1899 الخاصة به.

المنتج الخارجي

من جانب آخر، ويعني عدم التماثل المتأصل في الجبر الخارجي أنه عندما يُنظر إلى α ∧ β على أنه وظيفي متعدد المسارات ، فإنه يتناوب. ومع ذلك ، عندما يُنظر إلى الجبر الخارجي على أنه فضاء جزئي للجبر الموتر ، فإن منتج الموتر α ⊗ β لا يتناوب. هناك صيغة واضحة تصف المنتج الخارجي في هذه الحالة. المنتج الخارجي هو

في هذا الإطار، لمنتج الخارجي لـ k-form α و l-form β هو (k + l) -form يشير إلى α ∧ β. في كل نقطة p من المشعب M ، تكون الأشكال α و β عناصر قوة خارجية للمساحة المماسية عند p. عندما يُنظر إلى الجبر الخارجي على أنه حاصل على جبر الموتر ، فإن المنتج الخارجي يتوافق مع المنتج الموتر (modulo علاقة تكافؤ).

دمج

ومن ناحية أخرى، يمكن دمج نموذج k التفاضلي على شكل متعدد الأبعاد k. يمكن التفكير في شكل واحد تفاضلي كقياس طول متناهي الصغر (موجه) ، أو كثافة أحادية البعد. يمكن التفكير في شكل ثنائي الشكل كقياس منطقة متناهية الصغر (موجهة) ، أو كثافة ثنائية الأبعاد. وما إلى ذلك وهلم جرا.

وعلى صعيد آخر، {\ displaystyle d \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partialmi x_ {i} \، dx ^ {i} \ wedge dx ^ {a} .} {\ displaystyle d \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partialmi x_ {i} \، dx ^ {i} \ wedge dx ^ { ا}.}

ومن جهة أخرى، هذه الاتفاقيات تتوافق مع تفسير integrand كشكل تفاضلي ، متكاملة عبر سلسلة. في نظرية المقياس ، على النقيض من ذلك ، يفسر واحد integrand كوظيفة f فيما يتعلق مقياس μ ويتكامل على مجموعة فرعية A ، دون أي فكرة عن التوجه ؛ واحد يكتب {\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {A} f \، d \ mu = \ int _ {[a، b]} f \، d \ mu \ textstyle {\ int _ {A} f \ ، d \ mu = \ int _ {[a، b]} f \، d \ mu} للإشارة إلى التكامل عبر مجموعة فرعية A. وهذا تمييز ثانوي في بُعد واحد ، ولكنه يصبح أقل دقة في عمليات التجميع ذات الأبعاد الأعلى ؛ انظر أدناه للحصول على التفاصيل. جعل مفهوم كثافة موجهة موجهة بدقة ، وبالتالي من شكل تفاضلي ، ينطوي على الجبر الخارجي. النماذج الأساسية 1 هي فروق الإحداثيات: dx1، ...، dxn. كل من هذه تمثل covector يقيس إزاحة صغيرة في اتجاه إحداثيات المقابلة. شكل 1 العام هو مزيج خطي من هذه التفاضلات {\ displaystyle f_ {1} dx ^ {1} + \ cdots + f_ {n} dx ^ {n f_ {1} dx ^ {1} + \ cdots + f_ {n} dx ^ {n} حيث displaystyle f_ {k f_ {k} هي وظائف للإحداثيات. تم دمج النموذج التفاضلي 1 على طول منحنى موجه كخط متكامل. النموذجين الأساسيين هما التعبيرات dxi ∧ dxj ، حيث i <j. يمثل ذلك مربعًا متوازيًا متناهي الصغر موازٍ لمستوى xi-xj-plane. النموذج العام الثاني هو مزيج خطي من هذه ، ويتم دمجه تمامًا مثل التكامل السطحي. العملية الأساسية المحددة في النماذج التفاضلية هي المنتج الخارجي (الرمز هو الإسفين ∧). يشبه هذا المنتج المتقاطع من حساب التفاضل والتكامل

من جانب آخر، بشكل أكثر عمومية ، شكل m عبارة عن كثافة موجهة يمكن دمجها عبر مشعب ذو أبعاد m- الأبعاد. (مثلًا ، يمكن دمج نموذج 1 على منحنى موجه ، يمكن دمج نموذج 2 على سطح مرسوم ، إلخ). إذا كانت M عبارة عن مشعب ذو أبعاد m ، ويكون M ′ هو نفس المشعب مع الاتجاه و ω هو شكل m ، ثم واحد لديه:

مع التمديد إلى نماذج k العامة التي تحدث خطيا.

إضافةً إلى ذلك، فضلًا عن المنتج الخارجي ، هناك كذلك مشغل مشتق خارجي d. مثل الاختلاف في الوظيفة ، يعطي المشتق الخارجي طريقة لتحديد حساسية النموذج التفاضلي للتغيير. في Rn ، إذا كانت ω = f dxa هي k-form ، فإن dω هو k + 1-form المحدد بواسطة

من جهة ثانية، {\ displaystyle \ int _ {M} \ omega = - \ int _ {M '} \ omega \ ،.} \ int _ {M} \ omega = - \ int _ {M'} \ omeg

من جهة ثانية، يتم تعريف التكامل من الأشكال التفاضلية بشكل جيد فقط على المشعبات الموجهة. مثال لمجموع ذي بُعد واحد هو الفاصل الزمني [a، b] ، ويمكن إعطاء الفواصل الزمنية اتجاهًا: فهي موجّهة بشكل إيجابي إذا كانت <b ، موجّهة سلبًا بخلاف ذلك. إذا كانت a <b ، فإن التكامل التفاضلي للنمط f (x) dx المفرط خلال الفاصل الزمني [a ، b] (مع اتجاهه الموجب الطبيعي) هو

وفي السياق ذاته، هذا يعطي سياقًا هندسيًا لاتفاقيات التكاملات أحادية البعد ، التي تتغير بها الإشارة عندما يتم عكس اتجاه الفاصل الزمني. والتفسير المعياري لهذا في نظرية التكامل الواحد المتغير هو أنه عندما تكون حدود التكامل في الترتيب المعاكس (b <a) ، تكون dx الزيادة سالبة. التكاملات هي سلبيات لبعضها البعض لأن الأطوال "dx" الموجهة لها اتجاهات معاكسة.

كذلك، لأن المربع الذي يكون جانبه الأول dx1 والجانب الثاني هو dx2 يعتبر أنه له اتجاه معاكس مثل المربع الذي يكون جانبه الأول dx2 ويكون وجهه الثاني dx1. يسمح المنتج الخارجي بتكوين أشكال تفاضلية ذات أبعاد أعلى من الأشكال ذات الأبعاد الضيقة ، بنفس الطريقة التي يسمح بها المنتج المتقاطع في حساب المتجهات بحساب متجه المنطقة من متوازي الأضلاع من المتجهات التي تشير إلى الجانبين.

من جانب آخر، ويسمح هذا النهج الأكثر عمومية بإتباع نهج أكثر انسجاما طبيعيا للتكامل في عمليات التجميع. كما يسمح بالتعميم الطبيعي للنظرية الأساسية للحساب التفاضلي (انظر § نظرية ستوكس).

حساب التفاضل

وفي السياق ذاته، {\ displaystyle (\ جزئي _ {v} f) (p) = \ left. {\ frac {d} {dt f (p + tv) \ right | _ {t = 0}.} {\ displaystyle ( \ جزئي _ {v} f) (p) = \ left. {\ frac {d} {dt f (p + tv) \ right | _ {t = 0}.}

وفي هذا الصدد، اسمحوا U يكون مجموعة مفتوحة في RN. يُعرَّف النموذج 0 التفاضلي ("شكل صفري") بأنه دالة سلسة f على U. إذا كانت v هي أي متجه في Rn ، عندئذ يكون لـ f مشتق اتجاهي ∂vf ، وهي دالة أخرى على U قيمتها في النقطة p ∈ U هي معدل التغيير (عند p) لـ f في الاتجاه v:

عمليات

من جهة ثانية، الإضافة إلى الإضافة والضرب بالعمليات العددية التي تنشأ من بنية مساحة المتجه ، هناك الكثير من العمليات القياسية الأخرى المحددة في النماذج التفاضلية. أهم العمليات هي المنتج الخارجي لاثنين من الأشكال التفاضلية ، والمشتق الخارجي لنموذج تفاضلي واحد ، والمنتج الداخلي لشكل تفاضلي وحقل متجه ، مشتق الكذب لشكل تفاضلي فيما يتعلق بمجال المتجهات والمتغير مشتق من شكل تفاضلي فيما يتعلق بمجال متجه على مشعب مع اتصال محدد.

مفهوم

كذلك، وفر الأشكال التفاضلية نهجًا لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات مستقل عن الإحداثيات